Final de Análisis Avanzado — 05/08/2025

1. Sea $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}$ una sucesión monótona creciente. Mostrar que entonces o bien $\lim_{n \in \mathbb{N}} a_n = +\infty$ o $\lim_{n \in \mathbb{N}} a_n = s$, donde $s = \sup(\{a_n : n \in \mathbb{N}\})$.

2. Sean $(M, d)$ y $(N, d')$ espacios métricos y sea $f : M \to N$ una función. Pruebe que $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(A)$ es abierto para todo $A \subseteq N$ abierto.

3. Sea $(M, d)$ un espacio métrico y $K \subseteq M$. Probar que $K$ es compacto si y sólo si todo conjunto infinito de $K$ tiene un punto de acumulación en $K$.
   Recordar: $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ ($x \in A'$) si para todo $r > 0$ se tiene que $B(x, r) \setminus \{x\} \cap A \neq \emptyset$.

4. Sea $C[0, 1] = \{f : [0, 1] \to \mathbb{R} : f \text{ es continua}\}$, con la norma $\|f\| = \sup_{x \in [0, 1]} |f(x)|$. Decidir si $(C[0, 1], \|\cdot\|)$ es de Banach.
   Aclaración: no hace falta probar que es un espacio normado.

5. Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto medible. Probar que para todo $\varepsilon > 0$ existe un $U$ abierto tal que $A \subseteq U$ y $\mu(U \setminus A) < \varepsilon$.

6. Sea $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua. Mostrar que $f$ es integrable Riemann en $[a, b]$.

---

Todos los ejercicios valen 2 puntos. La calificación final se calculará como el mínimo entre el puntaje obtenido y 10.