Final de Análisis Avanzado — 07/03/2025

(2 puntos): Si $\#A = \#B = c$, probar que $\#(A \cup B) = c$.

(1 punto): Sea $A \subseteq E$ un conjunto en un espacio métrico $(E, d)$. Probar que $E \setminus \text{Int}(A) = \overline{E \setminus A}$.

(3 puntos): Sea $E$ compacto. Sea $f: E \to E$ continua tal que $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ para todo $x \neq y$. Probar que $f$ tiene un único punto fijo.

(3 puntos): Sea $T$ una transformación lineal. Probar que $T$ es acotada si y sólo si $T$ es uniformemente continua.

(1 punto): Dar una sucesión de funciones $f_n: [-1/2, 1] \to [-1/2, 1]$ que converja puntualmente pero no uniformemente.

(2 puntos): Si $f$ es medible y $\int_E f < \infty$, probar que el conjunto $\{x \in E : f(x) = \infty\}$ es nulo.