[!infobox] Examen Final - Análisis Avanzado Contexto: Evaluación Universitaria (2da Fecha) Fecha: 18/12/2025 Temas: Topología en $\mathbb{R}$, Cardinalidad, Espacios Métricos, Completitud, Continuidad Uniforme, Medida.

Enunciados del Examen

1. (1 punto): Sea $A \subset \mathbb{R}$. Mostrar que si $A$ es acotado, entonces existe una sucesión $(a_n)_n \subset A$ tal que $a_n \to \sup(A)$.

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2. (1 punto): Considere un conjunto $A$. Mostrar que $\mathcal{P}(A)$ es coordinable con $\{0, 1\}^A$.

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3. (0,5 puntos): Sea $(E,d)$ un espacio métrico y $A \subset E$. Mostrar que $\overline{A} = A \cup A'$ ($A'$ es el conjunto derivado).

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4. (1 punto): Sea $(E,d)$ un espacio métrico y $(x_n)_n \subset E$ una sucesión. Mostrar que si $(x_n)_n$ es de Cauchy y, además, existe una subsucesión convergente, entonces $(x_n)_n$ es convergente.

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5. (2 puntos): Sean $(E,d)$ y $(E',d')$ espacios métricos y $f: (E,d) \to (E',d')$. Mostrar que para todo $x \in E$, dado $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(B(x,\delta)) \subset B(f(x), \varepsilon)$ si y sólo si para todo cerrado $F \subset E'$, $f^{-1}(F)$ es cerrado.

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6. (1,5 puntos): Considere en $\mathbb{R}^n$ una norma $\|\cdot\|$. Mostrar que $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|)$ es completo.

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7. (2 puntos): Sea $f: (E,d) \to (E',d')$ una función continua. Mostrar que si $(E,d)$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua. Mostrar un ejemplo de una función continua y no uniformemente continua entre 2 espacios métricos.

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8. (1 punto): Sea $A \subset (0,1)$ un conjunto nulo. Mostrar que $(0,1) \setminus A$ es denso en $(0,1)$.