[!infobox] Examen Final - Análisis Avanzado Contexto: Evaluación Universitaria (1ra Fecha) Fecha: 10/12/2025 Temas: Densidad de $\mathbb{Q}$, Cardinalidad, Topología en Espacios Métricos, Continuidad Uniforme, Medida.

Enunciados del Examen

1. (1 punto): Sean $x, y \in \mathbb{R}$ con $x < y$. Mostrar que existe $q \in \mathbb{Q}$ tal que $x < q < y$.

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2. (1 punto): Considere un conjunto $A$. Mostrar que $A$ no es coordinable con $\mathcal{P}(A)$.

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3. (1 punto): Sea $(E, d)$ un espacio métrico y $A \subset E$. Mostrar que existe $(x_n)_n \in A$ tal que $x_n \to x$ si y sólo si para todo $r > 0$ se tiene que $B(x,r) \cap A \neq \emptyset$.

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4. (0,5 puntos): Mostrar que una sucesión de Cauchy en un espacio métrico es acotada.

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5. (2 puntos): Sean $(E,d)$ y $(E',d')$ espacios métricos y $f: (E,d) \to (E',d')$. Mostrar que $f$ es continua si y sólo si para todo $A \subset E$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.

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6. (1,5 puntos): Considere en $\mathbb{R}^n$ una norma $\|\cdot\|$. Mostrar que el conjunto $\{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| \le 1\}$ es compacto.

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7. (2 puntos): Sean $(f_n)_n \subset C[0,1]$ una sucesión de funciones continuas y supongamos que existe $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $(f_n)_n$ converge uniformemente a $f$. Mostrar que $f$ es continua.

Dar un ejemplo de una sucesión $(f_n)_n \subset C[0,1]$ y una función $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $f$ no es continua y $(f_n)_n$ converge puntualmente a $f$.

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8. (1 punto): Sean $A \subset B \subset \mathbb{R}$ conjuntos medibles tal que $\mu(B) < \infty$. Mostrar que $B \setminus A$ es medible y que $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$.