#23

2025 - Teórica 23 - Convergencia mayorada

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Thu-26-06-2025 18:00 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags:

Vamos a querer demostrar lo siguiente: Sea (fn):E→R∪{±∞}(f_{n}):E\to \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty \} medibles. f=lim⁡n→∞fnf=\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n},  ∃ φ\:\exists\:{\Large\varphi} integrable tal que ∣fn∣≤φ  ⟹  lim⁡n→∞∫Efn dμ=∫Ef dμ|f_{n}|\leq {\Large\varphi}\implies \underset{ n\to \infty }{ \lim } \displaystyle\int_{E}f_{n} \, d\mu= \int_{E}f \, d\mu

Para probar convergencia mayorada vamos a usar el lema de Fatou(Clase pasada).

Teorema convergencia mayorada ≥0\geq 0

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea (fn):E→[0,+∞] medibles tal que lim⁡n→∞fn=f y  ∃ ϕ integrable tal que fn≤ϕ  ⟹  lim⁡n→∞∫Efn dμ=∫Ef dμ \begin{array}{c} \text{Sea $(f_{n}):E\to[0,+\infty]$ medibles tal que $\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n}=f$ y $\:\exists\:\phi$ integrable tal que $f_{n}\leq\phi$}\\ \text{$\implies \underset{ n\to \infty }{ \lim }\displaystyle \int_{E} f_{n} \, d\mu=\int_{E} f \, d\mu$ } \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

∫Ef dμ=Existe el lim∫Elim⁡‾n→∞fn dμ≤Fatoulim⁡‾n→∞∫Efn dμ≤lim⁡‾n→∞∫Efn dμ≤∫Ef dμ\int_{E} f \, d\mu \underset{ \text{Existe el lim} }{ = }\int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } f_{n} \, d\mu \underset{ \text{Fatou} }{ \leq } \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }\int_{E} f_{n} \, d\mu \leq \underset{ n\to \infty }{ \overline{\lim }} \int_{E} f_{n} \, d\mu \leq \int_{E} f \, d\mu

Sea gn=ϕ−fn≥0g_{n}=\phi-f_{n}\geq 0 y medible.

lim⁡n→∞gn=ϕ−f\underset{ n\to \infty }{ \lim } g_{n}=\phi-f ∫Elim⁡n→∞gn dμ=∫Elim⁡‾n→∞gn dμ≤Fatoulim⁡‾n→∞∫Egn dμ=lim⁡‾n→∞∫Egn dμ=lim⁡‾n→∞∫Eϕ−fn dμ=\int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \lim } g_{n} \, d\mu =\int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } g_{n} \, d\mu \underset{ \text{Fatou} }{ \leq } \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } \int_{E} g_{n} \, d\mu =\underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }\int_{E} g_{n} \, d\mu =\underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }\int_{E} \phi-f_{n} \, d\mu = =lim⁡‾n→∞∫Eϕ dμ−∫Efn dμ=∫Eϕ dμ+lim⁡‾n→∞(−∫Efn dμ)==\underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } \int_{E} \phi \, d\mu -\int_{E} f_{n} \, d\mu =\int_{E} \phi \, d\mu +\underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } \left( - \int_{E} f_{n} \, d\mu \right)= =∫Eϕ dμ−lim⁡‾n→∞∫Efn dμ=\int_{E} \phi \, d\mu -\underset{ n\to \infty }{ \overline{\lim} } \int_{E} f_{n} \, d\mu

Por otro lado,

∫Elim⁡n→∞gn dμ=∫Eϕ dμ−∫Ef dμ\int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \lim } g_{n} \, d\mu =\int_{E} \phi \, d\mu - \int_{E} f \, d\mu

Juntando todo,

∫Eϕ dμ−∫Ef dμ≤∫Eϕ dμ−lim⁡‾n→∞∫Efn dμ\int_{E} \phi \, d\mu -\int_{E} f \, d\mu \leq \int_{E} \phi \, d\mu - \underset{ n\to \infty }{ \overline{\lim} } \int_{E} f_{n} \, d\mu

Como ϕ\phi es integrable, puedo cancelar y listo.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

Teorema convergencia mayorada

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Teorema\begin{array}{l} \text{Teorema} \end{array}

Sea (fn):E→R‾(f_{n}):E\to \overline{\mathbb{R}} medibles tal que f=lim⁡n→∞fnf=\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n} y  ∃ ϕ\:\exists\:\phi integrable tal que ∣fn∣≤ϕ.(∗)|f_{n}|\leq \phi.(*) Entonces lim⁡n→∞∫Efn dμ=∫Ef dμ\underset{ n\to \infty }{ \lim }\displaystyle \int_{E} f_{n} \, d\mu=\int_{E} f \, d\mu

Para funciones positivas siempre está definida la integral. (*): A partir de un n0n_{0} y ctp xx.

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Como ∣fn∣≤ϕ  ⟹  fn|f_{n}| \leq \phi\implies f_{n} es integrable ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}
∣f∣=lim⁡n→∞∣fn∣≤ϕ  ⟹  f|f|=\underset{ n\to \infty }{ \lim }|f_{n}|\leq \phi\implies f también es integrable.

No siempre es verdad que el límite de integrables es integrable.

Obs:Obs:

∣fn∣≤ϕ  ⟹  −ϕ≤fn≤ϕ  ⟹  0≤fn+ϕ≤2⋅ϕ⏟fn+ϕ funcion pos. mayorada por 2ϕ, que es integrable\begin{array}{c} |f_{n}|\leq \phi\implies-\phi\leq f_{n}\leq \phi \\ \implies{0}\leq \underbrace{ f_{n}+\phi\leq 2\cdot \phi }_{\begin{array}{c} f_{n}+\phi\text{ funcion pos. mayorada por } \\ 2\phi \text{, que es integrable} \end{array}} \end{array}

Por teorema anterior, como 2⋅ϕ2\cdot \phi integrable:

∫Elim⁡n→∞fn+ϕ dμ=lim⁡n→∞∫Efn+ϕ dμ\int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \lim } f_{n}+\phi \, d\mu =\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} f_{n}+\phi \, d\mu

Linealidad de la integrable + ϕ\phi integrable   ⟹  ∫Elim⁡n→∞fn dμ=lim⁡n→∞∫Efn dμ\implies \int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n} \, d\mu=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\int_{E} f_{n} \, d\mu

Ejemplo:Ejemplo:

Sea fnf_{n} integrable tal que fn→f  ⟹  ff_{n}\to f\cancel{ \implies } f integrable.

fn(x)=1x⋅X[1,n]f_{n}(x)= \frac{1}{x}\cdot\mathcal{X}_{[1,n]}

Son todas integrables. De hecho, son integrables Riemann. fn(x)⟶n→∞1xf_{n}(x)\underset{ n\to \infty }{ \longrightarrow }\frac{1}{x} y 1x\frac{1}{x} no es integrable.

∫1+∞1x dμ=Conv. mon.lim⁡n→∞∫1n1x dx=lim⁡n→∞ln⁡(n)=+∞\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x} \, d\mu \underset{ \text{Conv. mon.} }{ = }\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx =\underset{ n\to \infty }{ \lim } \ln(n)=+\infty

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