Tue-10-06-2025 19:10
profe: Natalia Accomazzo Scotti
status:
tags: Teoria de la medida
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
A ⊆ R , A es nulo ⟺ μ ( A ) = 0 \begin{array}{l}
\text{$A\subseteq \mathbb{R},A$ es nulo $\iff \mu(A)=0$ }
\end{array} A ⊆ R , A es nulo ⟺ μ ( A ) = 0 Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ⟹ A \implies A ⟹ A ⟹ A ∈ M \implies A \in\mathcal{M} ⟹ A ∈ M
μ ( A ) = inf { μ ( U ) : A ⊆ U , U abierto } \mu(A)=\inf\{ \mu(U):A\subseteq U,U\:\text{abierto} \} μ ( A ) = inf { μ ( U ) : A ⊆ U , U abierto } Dado E > 0 , ∃ { I n } n ∈ N \mathcal{E}>0,\:\exists\:\{ I_{n} \}_{n\in \mathbb{N}} E > 0 , ∃ { I n } n ∈ N A ⊆ ⋃ n ∈ N I n A\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} A ⊆ ⋃ n ∈ N I n ∑ n ∈ N μ ( I n ) < E \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E} n ∈ N ∑ μ ( I n ) < E U = ⋃ n ∈ N I n U=\displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} U = n ∈ N ⋃ I n μ ( U ) ≤ ∑ n ∈ N μ ( I n ) < E \mu(U)\leq \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E} μ ( U ) ≤ n ∈ N ∑ μ ( I n ) < E ⟹ μ ( A ) = 0 \implies \mu(A)=0 ⟹ μ ( A ) = 0
⟸ ) \impliedby) ⟸ )
μ ( A ) = inf { μ ( U ) : A ⊆ U , U abierto } = 0 \mu(A)=\inf\{ \mu(U):A\subseteq U,U\text{ abierto} \}=0 μ ( A ) = inf { μ ( U ) : A ⊆ U , U abierto } = 0 Dado E > 0 ∃ U \mathcal{E}>0\:\exists\:U E > 0 ∃ U A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U μ ( U ) < E . \mu(U)<\mathcal{E}. μ ( U ) < E . U U U ⟹ ∃ { I n } n ∈ N \implies \:\exists\:\{ I_{n} \}_{n\in \mathbb{N}} ⟹ ∃ { I n } n ∈ N U = ⋃ n ∈ N d I n \displaystyle U=\overset{ d }{ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} }I_{n} U = n ∈ N ⋃ d I n
⟹ A ⊆ ⋃ n ∈ N I n \implies A\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} ⟹ A ⊆ n ∈ N ⋃ I n μ ( U ) = ∑ n ∈ N μ ( I n ) < E \mu(U)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_{n})<\mathcal{E} μ ( U ) = n ∈ N ∑ μ ( I n ) < E O b s : Obs: O b s :
Si A es nulo y B ⊆ A ⟹ B es nulo. \text{Si $A$ es nulo y $B\subseteq A\implies B$ es nulo.} Si A es nulo y B ⊆ A ⟹ B es nulo. Si { I n } ∣ A ⊆ ⋃ I n ⟹ \{ I_{n} \}\bigm|A\subseteq \bigcup I_{n}\implies { I n } A ⊆ ⋃ I n ⟹ B B B
En particular, si μ ( A ) = 0 ⟹ ∀ B ⊆ A : B ∈ M \mu(A)=0\implies \forall B\subseteq A:B \in\mathcal{M} μ ( A ) = 0 ⟹ ∀ B ⊆ A : B ∈ M μ ( B ) = 0 \mu(B)=0 μ ( B ) = 0
O b s : Obs: O b s :
Si A , B ∈ M , A ⊆ B ⟹ μ ( A ) ≤ μ ( B ) \text{Si $A,B \in\mathcal{M},A\subseteq B\implies \mu(A)\leq \mu(B)$ } Si A , B ∈ M , A ⊆ B ⟹ μ ( A ) ≤ μ ( B ) B = A ∪ d B ∖ A B=A\overset{ d }{ \cup} B \setminus A B = A ∪ d B ∖ A Notar que B ∖ A ∈ M B \setminus A \in\mathcal{M} B ∖ A ∈ M
⟹ μ ( B ) = μ ( A ) + μ ( B ∖ A ) ⏟ ≥ 0 ≥ μ ( A ) \implies \mu(B)=\mu(A)+\underbrace{ \mu(B \setminus A) }_{ \geq 0 }\geq \mu(A) ⟹ μ ( B ) = μ ( A ) + ≥ 0 μ ( B ∖ A ) ≥ μ ( A ) O b s : Obs: O b s :
Si A , B ∈ M , A ⊆ B y μ ( A ) < ∞ ⟹ μ ( B ∖ A ) = μ ( B ) − μ ( A ) \text{Si $A,B \in \mathcal{M},A\subseteq B$ y $\mu(A)<\infty\implies \mu(B \setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$ } Si A , B ∈ M , A ⊆ B y μ ( A ) < ∞ ⟹ μ ( B ∖ A ) = μ ( B ) − μ ( A ) O b s : Obs: O b s :
Si A , B ∈ M ⟹ μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ∖ A ) \text{Si $A,B \in\mathcal{M}\implies \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B \setminus A)$} Si A , B ∈ M ⟹ μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ∖ A ) A ∪ B = A ⋃ d B ∖ A A\cup B=A\overset{ d }{ \bigcup }B \setminus A A ∪ B = A ⋃ d B ∖ A
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. : μ \mu μ
Sea A ∈ M . Entonces: 1. ∀ E > 0 , ∃ U abierto ∣ A ⊆ U y μ ( U ∖ A ) < E 2. ∀ E > 0 , ∃ F cerrado ∣ F ⊆ A y μ ( A ∖ F ) < E \begin{array}{l}
\text{Sea $A\in\mathcal{M}$. Entonces:}\\
\text{1. $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:U$ abierto $\bigm|A\subseteq U$ y $\mu(U \setminus A)< \mathcal{E}$ }\\
\text{2. $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:F$ cerrado $\bigm|F\subseteq A$ y $\mu(A \setminus F)< \mathcal{E}$ }
\end{array} Sea A ∈ M . Entonces: 1. ∀ E > 0 , ∃ U abierto A ⊆ U y μ ( U ∖ A ) < E 2. ∀ E > 0 , ∃ F cerrado F ⊆ A y μ ( A ∖ F ) < E
es equivalente a la definición de regularidad exterior de la medida de la teo anterior.
Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: E > 0 , \mathcal{E}>0, E > 0 , ∃ U \:\exists\:U ∃ U A ⊆ U ∣ μ ( U ) ≤ μ ( A ) + E A\subseteq U\bigm|\mu(U)\leq \mu(A)+\mathcal{E} A ⊆ U μ ( U ) ≤ μ ( A ) + E μ ( A ) < ∞ \mu(A)<\infty μ ( A ) < ∞
μ ( U ∖ A ) = μ ( U ) − μ ( A ) < E (*) \mu(U \setminus A)=\mu(U)-\mu(A)<\mathcal{E}\tag{*} μ ( U ∖ A ) = μ ( U ) − μ ( A ) < E ( * ) por lo anterior.
A = ⋃ n ∈ N d A ∩ [ n , n + 1 ] ⏟ A n A=\overset{ d }{ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} }\underbrace{ A\cap[n,n+1] }_{ A_{n} } A = n ∈ N ⋃ d A n A ∩ [ n , n + 1 ] A n A_{n} A n
A n A_{n} A n
μ ( A n ) ≤ μ ( [ n , n + 1 ] ) = 1 ∀ n ∈ Z \mu(A_{n})\leq \mu([n,n+1])=1\quad\forall n\in \mathbb{Z} μ ( A n ) ≤ μ ([ n , n + 1 ]) = 1 ∀ n ∈ Z Por lo que vimos recién(*), ∃ U n \:\exists\:U_{n} ∃ U n A n ⊆ U n ∣ μ ( U n ∖ A n ) < E 2 ∣ n ∣ \displaystyle A_{n}\subseteq U_{n}\bigm|\mu(U_{n} \setminus A_{n})<\frac{\mathcal{E}}{2^{|n|}} A n ⊆ U n μ ( U n ∖ A n ) < 2 ∣ n ∣ E
Sea U = ⋃ n ∈ Z U n \displaystyle U=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}U_{n} U = n ∈ Z ⋃ U n
μ ( U ∖ A ) ≤ μ ( ⋃ n ∈ Z ( U n ∖ A n ) ) ≤ ∑ n ∈ Z μ ( U n ∖ A n ) < ∑ n ∈ Z E 2 ∣ n ∣ = E \mu(U \setminus A)\leq \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{Z}}(U_{n} \setminus A_{n}) \right)\leq \sum_{n\in \mathbb{Z}}\mu(U_{n} \setminus A_{n})<\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{\mathcal{E}}{2^{|n|} }=\mathcal{E} μ ( U ∖ A ) ≤ μ ( n ∈ Z ⋃ ( U n ∖ A n ) ) ≤ n ∈ Z ∑ μ ( U n ∖ A n ) < n ∈ Z ∑ 2 ∣ n ∣ E = E (2)
Sea B = A c ∈ M . B=A^{c} \in\mathcal{M}. B = A c ∈ M . ∃ U \:\exists\:U ∃ U B ⊆ U ∣ μ ( U ∖ B ) < E B\subseteq U\bigm|\mu(U \setminus B)<\mathcal{E} B ⊆ U μ ( U ∖ B ) < E F = U c F=U^{c} F = U c F ⊆ A . F\subseteq A. F ⊆ A .
U ∖ B = U ∩ B c = U ∩ A = F c ∩ A = A ∖ F U \setminus B=U\cap B^{c} =U\cap A=F^{c} \cap A=A \setminus F U ∖ B = U ∩ B c = U ∩ A = F c ∩ A = A ∖ F Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □
Acá es clave saber que A ∖ B = { x ∈ A : x ∉ B } = A ∩ B c A\setminus B=\{ x \in A:x\not\in B \}=A\cap B^{c} A ∖ B = { x ∈ A : x ∈ B } = A ∩ B c
Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
1. Sean ( A n ) n ∈ N ⊆ M con A 1 ⊆ A 2 ⊆ ⋯ ⊆ \begin{array}{l}
\text{1. Sean $( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M}$ con $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots \subseteq$ }
\end{array} 1. Sean ( A n ) n ∈ N ⊆ M con A 1 ⊆ A 2 ⊆ ⋯ ⊆ Entonces μ ( ⋃ n ∈ N A n ) = lim n → ∞ μ ( A n ) \text{Entonces $\displaystyle\mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(A_{n})$} Entonces μ ( n ∈ N ⋃ A n ) = n → ∞ lim μ ( A n ) 2. Sean ( B n ) n ∈ N ⊆ M , B 1 ⊇ B 2 ⊇ ⋯ ⊇ y ∃ n 0 ∈ N ∣ μ ( B n 0 ) < ∞ \text{2. Sean $( B_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M},B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq\dots \supseteq$ y $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|\mu(B_{n_{0}})<\infty$ } 2. Sean ( B n ) n ∈ N ⊆ M , B 1 ⊇ B 2 ⊇ ⋯ ⊇ y ∃ n 0 ∈ N μ ( B n 0 ) < ∞ Entonces μ ( ⋂ n ∈ N B n ) = lim n → ∞ μ ( B n ) \text{Entonces $\displaystyle\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(B_{n})$ } Entonces μ ( n ∈ N ⋂ B n ) = n → ∞ lim μ ( B n ) Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem:
A 1 ~ = A 1 A 2 ~ = A 2 ∖ A 1 A 3 ~ = A 3 ∖ A 2 ⋮ \begin{array}{c}
\tilde{A_{1}}=A_{1} \\
\tilde{A_{2}}=A_{2}\setminus A_{1} \\
\tilde{A_{3}}=A_{3}\setminus A_{2} \\
\vdots
\end{array} A 1 ~ = A 1 A 2 ~ = A 2 ∖ A 1 A 3 ~ = A 3 ∖ A 2 ⋮ ⋃ n ∈ N A n = ⋃ d n ∈ N A n ~ \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}=\overset{ d }{ \bigcup }_{n\in \mathbb{N}}\tilde{A_{n}} n ∈ N ⋃ A n = ⋃ d n ∈ N A n ~ μ ( ⋃ n ∈ N A n ) = μ ( ⋃ n ∈ n N d A n ~ ) = ∑ n ∈ N μ ( A n ~ ) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N μ ( A n ~ ) = lim N → ∞ μ ( ⋃ n = 1 N A ~ n ) \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_{n}\right)=\mu\left(\overset{ d }{ \bigcup_{n\in n\mathbb{N}} }\tilde{A_{n}} \right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(\tilde{A_{n}})=\underset{ N\to \infty }{ \lim } \sum_{n=1}^{N} \mu(\tilde{A_{n}})=\underset{ N\to \infty }{ \lim } \mu\left( \overset{ N }{ \bigcup_{n=1} }\tilde{A}_{n} \right) μ ( n ∈ N ⋃ A n ) = μ ( n ∈ n N ⋃ d A n ~ ) = n ∈ N ∑ μ ( A n ~ ) = N → ∞ lim n = 1 ∑ N μ ( A n ~ ) = N → ∞ lim μ ( n = 1 ⋃ N A ~ n ) = lim N → ∞ μ ( A N ) =\underset{ N\to \infty }{ \lim } \mu(A_{N}) = N → ∞ lim μ ( A N ) Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ (2)
Defino A n = B 1 ∖ B n A_{n}=B_{1} \setminus B_{n} A n = B 1 ∖ B n
A 1 ⊆ A 2 ⊆ ⋯ ⊆ A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots \subseteq A 1 ⊆ A 2 ⊆ ⋯ ⊆ con ( A n ) n ∈ N ⊆ M ( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq\mathcal{M} ( A n ) n ∈ N ⊆ M
⟹ μ ( ⋃ n ∈ N A n ) = lim n → ∞ μ ( A n ) \implies \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(A_{n}) ⟹ μ ( n ∈ N ⋃ A n ) = n → ∞ lim μ ( A n ) ⋃ n ∈ N A n = ⋃ n ∈ N B 1 ∖ B n = ⋃ n ∈ N B 1 ∩ B n c \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{1} \setminus B_{n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{1}\cap B_{n}^{c} n ∈ N ⋃ A n = n ∈ N ⋃ B 1 ∖ B n = n ∈ N ⋃ B 1 ∩ B n c
Para demostrar esto usamos De Morgan, también sirve para demostrar que la intersección numerable de medibles da medible.
= B 1 ∩ ( ⋃ n ∈ N B n c ) = B 1 ∩ ( ⋂ n ∈ N B n ) c = B 1 ∖ ⋂ n ∈ N B n =B_{1}\cap\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{n}^{c} \right)=B_{1}\cap\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)^{c}=B_{1} \setminus \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} = B 1 ∩ ( n ∈ N ⋃ B n c ) = B 1 ∩ ( n ∈ N ⋂ B n ) c = B 1 ∖ n ∈ N ⋂ B n μ ( ⋃ n ∈ N A n ) = μ ( B 1 ∖ ⋂ n ∈ N B n ) = μ ( B 1 ) − μ ( ⋂ n ∈ N B n ) \mu\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} \right)=\mu\left( B_{1} \setminus \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\mu(B_{1})-\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right) μ ( n ∈ N ⋃ A n ) = μ ( B 1 ∖ n ∈ N ⋂ B n ) = μ ( B 1 ) − μ ( n ∈ N ⋂ B n )
Tengo que demostrar que la intersección ⋂ B n \bigcap B_{n} ⋂ B n n 0 : B n n_{0}:B_{n} n 0 : B n n ≥ n 0 n\geq n_{0} n ≥ n 0 ⋂ B n ⊆ B n 0 \bigcap B_{n}\subseteq B_{n_{0}} ⋂ B n ⊆ B n 0 μ ( B n 0 ) < ∞ ⟹ μ ( ⋂ B n ) < ∞ \mu(B_{n_{0}})<\infty\implies \mu\left( \bigcap B_{n} \right)<\infty μ ( B n 0 ) < ∞ ⟹ μ ( ⋂ B n ) < ∞
Por otro lado
μ ( A n ) = μ ( B 1 ∖ B n ) = μ ( B 1 ) − μ ( B n ) ∀ n ≥ n 0 \mu(A_{n})=\mu(B_{1} \setminus B_{n})=\mu(B_{1})-\mu(B_{n})\quad\forall n\geq n_{0} μ ( A n ) = μ ( B 1 ∖ B n ) = μ ( B 1 ) − μ ( B n ) ∀ n ≥ n 0 ⟹ μ ( B 1 ) − μ ( ⋂ n ∈ N B n ) = lim n → ∞ μ ( B 1 ) − μ ( B n ) \implies \mu(B_{1})-\mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(B_{1})-\mu(B_{n}) ⟹ μ ( B 1 ) − μ ( n ∈ N ⋂ B n ) = n → ∞ lim μ ( B 1 ) − μ ( B n ) ⟹ μ ( ⋂ n ∈ N B n ) = lim n → ∞ μ ( B n ) \implies \mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(B_{n}) ⟹ μ ( n ∈ N ⋂ B n ) = n → ∞ lim μ ( B n )
Esto se rompe si B 1 B_{1} B 1 B 1 B_{1} B 1 B n 0 B_{n_{0}} B n 0
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □
[!infobox] Teorema: Continuidad de la Medida
Contexto: Teoría de la Medida (Propiedades de Monotonía Límite)
Enunciado: Sea ( X , M , μ ) (X, \mathcal{M}, \mu) ( X , M , μ )
Continuidad desde abajo: Si ( A n ) ⊆ M (A_n) \subseteq \mathcal{M} ( A n ) ⊆ M A n ⊆ A n + 1 A_n \subseteq A_{n+1} A n ⊆ A n + 1
μ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = lim n → ∞ μ ( A n ) \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) μ ( n = 1 ⋃ ∞ A n ) = n → ∞ lim μ ( A n )
Continuidad desde arriba: Si ( B n ) ⊆ M (B_n) \subseteq \mathcal{M} ( B n ) ⊆ M B n ⊇ B n + 1 B_n \supseteq B_{n+1} B n ⊇ B n + 1 n 0 n_0 n 0 μ ( B n 0 ) < ∞ \mu(B_{n_0}) < \infty μ ( B n 0 ) < ∞
μ ( ⋂ n = 1 ∞ B n ) = lim n → ∞ μ ( B n ) \mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) μ ( n = 1 ⋂ ∞ B n ) = n → ∞ lim μ ( B n )
Advertencia/Clave: En el punto 2, la condición de finitud es crucial para evitar indeterminaciones del tipo ∞ − ∞ \infty - \infty ∞ − ∞ B n B_n B n B n = [ n , ∞ ) B_n = [n, \infty) B n = [ n , ∞ )
Idea Demostración:
μ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = μ ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) (Identidad de conjuntos) = ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) (Por σ -aditividad en disjuntos) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N μ ( E n ) (Definici o ˊ n de serie convergente) = lim N → ∞ μ ( ⋃ n = 1 N E n ) (Por aditividad finita) = lim N → ∞ μ ( A N ) (Por propiedad telesc o ˊ pica) \begin{aligned}
\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) &= \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) & \text{(Identidad de conjuntos)} \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) & \text{(Por } \sigma\text{-aditividad en disjuntos)} \\
&= \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \mu(E_n) & \text{(Definición de serie convergente)} \\
&= \lim_{N \to \infty} \mu\left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) & \text{(Por aditividad finita)} \\
&= \lim_{N \to \infty} \mu(A_N) & \text{(Por propiedad telescópica)}
\end{aligned} μ ( n = 1 ⋃ ∞ A n ) = μ ( n = 1 ⋃ ∞ E n ) = n = 1 ∑ ∞ μ ( E n ) = N → ∞ lim n = 1 ∑ N μ ( E n ) = N → ∞ lim μ ( n = 1 ⋃ N E n ) = N → ∞ lim μ ( A N ) (Identidad de conjuntos) (Por σ -aditividad en disjuntos) (Definici o ˊ n de serie convergente) (Por aditividad finita) (Por propiedad telesc o ˊ pica)
[!infobox] Demostración Detallada: Continuidad de la Medida (Caso Creciente)
Contexto: Teorema de Continuidad de la Medida
Enunciado: Sea ( A n ) (A_n) ( A n ) μ ( ⋃ A n ) = lim μ ( A n ) \mu(\bigcup A_n) = \lim \mu(A_n) μ ( ⋃ A n ) = lim μ ( A n ) Clave: La transformación de una unión creciente (solapada) en una unión disjunta (anillos).
Demostración:
Construcción de Anillos Disjuntos:
Definimos la sucesión ( E n ) n ∈ N (E_n)_{n \in \mathbb{N}} ( E n ) n ∈ N
E 1 = A 1 , E n = A n ∖ A n − 1 ( ∀ n ≥ 2 ) E_1 = A_1, \quad E_n = A_n \setminus A_{n-1} \quad (\forall n \geq 2) E 1 = A 1 , E n = A n ∖ A n − 1 ( ∀ n ≥ 2 ) *Justificación de disjuntez:* Si $n < m$, entonces $E_n \subseteq A_n \subseteq A_{m-1}$. Como $E_m = A_m \cap A_{m-1}^c$, entonces $E_n \cap E_m = \emptyset$.
2. Desarrollo de la Medida:
μ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = μ ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) μ ( n = 1 ⋃ ∞ A n ) = μ ( n = 1 ⋃ ∞ E n ) > **Justificación:** Identidad de conjuntos. La unión de los conjuntos acumulados es igual a la unión de las diferencias disjuntas. Todo elemento en la unión de los $A_n$ pertenece a un "primer" $A_k$, y por tanto a $E_k$.
= ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n) = n = 1 ∑ ∞ μ ( E n ) > **Justificación:** Propiedad de $\sigma$-aditividad. Como demostramos en (1) que los $E_n$ son disjuntos dos a dos, la medida de la unión numerable es la serie de las medidas.
= lim N → ∞ ∑ n = 1 N μ ( E n ) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \mu(E_n) = N → ∞ lim n = 1 ∑ N μ ( E n ) > **Justificación:** Definición de suma infinita (Serie). En Análisis Real, el valor de una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$.
= lim N → ∞ μ ( ⋃ n = 1 N E n ) = \lim_{N \to \infty} \mu\left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) = N → ∞ lim μ ( n = 1 ⋃ N E n ) > **Justificación:** Aditividad Finita. Para una cantidad finita $N$ de conjuntos disjuntos, la suma de las medidas es igual a la medida de la unión. (Esto es válido porque $\mu$ es una medida).
= lim N → ∞ μ ( A N ) = \lim_{N \to \infty} \mu(A_N) = N → ∞ lim μ ( A N ) > **Justificación:** Propiedad Telescópica. Reconstruimos el conjunto $A_N$ a partir de sus partes.
> $\bigcup_{n=1}^N E_n = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) \cup \dots \cup (A_N \setminus A_{N-1}) = A_N$.
> Por lo tanto, las medidas son iguales.
■ \blacksquare ■
[!infobox] Demostración: Continuidad de la Medida (Caso Decreciente)
Contexto: Teorema de Continuidad (Propiedad 2)
Enunciado: Sea ( B n ) n ∈ N ⊆ M (B_n)_{n\in\mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M} ( B n ) n ∈ N ⊆ M B 1 ⊇ B 2 ⊇ … B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots B 1 ⊇ B 2 ⊇ … n 0 ∈ N n_0 \in \mathbb{N} n 0 ∈ N μ ( B n 0 ) < ∞ \mu(B_{n_0}) < \infty μ ( B n 0 ) < ∞
μ ( ⋂ n = 1 ∞ B n ) = lim n → ∞ μ ( B n ) \mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) μ ( n = 1 ⋂ ∞ B n ) = n → ∞ lim μ ( B n )
Clave: Transformar la sucesión decreciente en creciente mediante complementos relativos y usar la finitud para validar la aritmética de límites.
Demostración:
Reducción:
Dado que estamos interesados en el límite cuando n → ∞ n \to \infty n → ∞ n 0 n_0 n 0 n ≥ n 0 n \geq n_0 n ≥ n 0 μ ( B n 0 ) < ∞ \mu(B_{n_0}) < \infty μ ( B n 0 ) < ∞ B n ⊆ B n 0 B_n \subseteq B_{n_0} B n ⊆ B n 0 μ ( B n ) < ∞ \mu(B_n) < \infty μ ( B n ) < ∞ n ≥ n 0 n \geq n_0 n ≥ n 0
Construcción de Sucesión Creciente:
Definimos la sucesión C n = B n 0 ∖ B n C_n = B_{n_0} \setminus B_n C n = B n 0 ∖ B n n ≥ n 0 n \geq n_0 n ≥ n 0
Dado que B n + 1 ⊆ B n B_{n+1} \subseteq B_n B n + 1 ⊆ B n B n 0 ∖ B n ⊆ B n 0 ∖ B n + 1 B_{n_0} \setminus B_n \subseteq B_{n_0} \setminus B_{n+1} B n 0 ∖ B n ⊆ B n 0 ∖ B n + 1
Por lo tanto, C n ⊆ C n + 1 C_n \subseteq C_{n+1} C n ⊆ C n + 1
Aplicación de Continuidad desde Abajo:
Aplicamos el Teorema de Continuidad para sucesiones crecientes a ( C n ) (C_n) ( C n )
μ ( ⋃ n = n 0 ∞ C n ) = lim n → ∞ μ ( C n ) \mu\left( \bigcup_{n=n_0}^{\infty} C_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(C_n) μ ( n = n 0 ⋃ ∞ C n ) = n → ∞ lim μ ( C n )
Desarrollo paso a paso:
Analizamos el lado izquierdo (L.I.) usando las Leyes de De Morgan:
L.I. = μ ( ⋃ n = n 0 ∞ ( B n 0 ∖ B n ) ) = μ ( B n 0 ∖ ⋂ n = n 0 ∞ B n ) \text{L.I.} = \mu\left( \bigcup_{n=n_0}^{\infty} (B_{n_0} \setminus B_n) \right) = \mu\left( B_{n_0} \setminus \bigcap_{n=n_0}^{\infty} B_n \right) L.I. = μ ( n = n 0 ⋃ ∞ ( B n 0 ∖ B n ) ) = μ ( B n 0 ∖ n = n 0 ⋂ ∞ B n ) Como $\bigcap B_n \subseteq B_{n_0}$ y $\mu(B_{n_0}) < \infty$, podemos escribir:
L.I. = μ ( B n 0 ) − μ ( ⋂ n = n 0 ∞ B n ) … ( ∗ 1 ) \text{L.I.} = \mu(B_{n_0}) - \mu\left( \bigcap_{n=n_0}^{\infty} B_n \right) \quad \dots (*1) L.I. = μ ( B n 0 ) − μ ( n = n 0 ⋂ ∞ B n ) … ( ∗ 1 ) Analizamos el lado derecho (L.D.):
L.D. = lim n → ∞ μ ( B n 0 ∖ B n ) \text{L.D.} = \lim_{n \to \infty} \mu(B_{n_0} \setminus B_n) L.D. = n → ∞ lim μ ( B n 0 ∖ B n ) Como $\mu(B_n) < \infty$, aplicamos la propiedad de sustracción:
L.D. = lim n → ∞ [ μ ( B n 0 ) − μ ( B n ) ] = μ ( B n 0 ) − lim n → ∞ μ ( B n ) … ( ∗ 2 ) \text{L.D.} = \lim_{n \to \infty} [\mu(B_{n_0}) - \mu(B_n)] = \mu(B_{n_0}) - \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) \quad \dots (*2) L.D. = n → ∞ lim [ μ ( B n 0 ) − μ ( B n )] = μ ( B n 0 ) − n → ∞ lim μ ( B n ) … ( ∗ 2 )
Conclusión:
Igualando ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 ) ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 )
μ ( B n 0 ) − μ ( ⋂ n = 1 ∞ B n ) = μ ( B n 0 ) − lim n → ∞ μ ( B n ) \mu(B_{n_0}) - \mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \mu(B_{n_0}) - \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) μ ( B n 0 ) − μ ( n = 1 ⋂ ∞ B n ) = μ ( B n 0 ) − n → ∞ lim μ ( B n ) Dado que $\mu(B_{n_0})$ es finito, podemos cancelarlo (restarlo) de ambos lados:
μ ( ⋂ n = 1 ∞ B n ) = lim n → ∞ μ ( B n ) \mu\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(B_n) μ ( n = 1 ⋂ ∞ B n ) = n → ∞ lim μ ( B n ) ■ \blacksquare ■ E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : B n = ( n , + ∞ ) ⊆ R B_{n}=(n,+\infty)\subseteq \mathbb{R} B n = ( n , + ∞ ) ⊆ R B n ∈ M , μ ( B n ) = + ∞ ∀ n ∈ N B_{n}\in\mathcal{M},\mu(B_{n})=+\infty \quad\forall n\in \mathbb{N} B n ∈ M , μ ( B n ) = + ∞ ∀ n ∈ N B 1 ⊇ B 2 ⊇ ⋯ ⊇ B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq\dots \supseteq B 1 ⊇ B 2 ⊇ ⋯ ⊇
Como ⋂ n ∈ N B n = ∅ ⟹ μ ( ⋂ n ∈ N B n ) = 0 \displaystyle\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n}=\emptyset\implies \mu\left( \bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_{n} \right)=0 n ∈ N ⋂ B n = ∅ ⟹ μ ( n ∈ N ⋂ B n ) = 0 lim n → ∞ μ ( B n ) = + ∞ \underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(B_{n})=+\infty n → ∞ lim μ ( B n ) = + ∞
Conjunto de Cantor
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
C = ⋂ n = 0 ∞ J n es el conjunto de Cantor \begin{array}{l}
\text{$\mathcal{C}=\displaystyle \bigcap_{n=0}^{\infty}J_{n}$ es el conjunto de Cantor}
\end{array} C = n = 0 ⋂ ∞ J n es el conjunto de Cantor O b s : Obs: O b s :
C \mathcal{C} C J n J_{n} J n 2 n 2^{n} 2 n C ∈ M \mathcal{C}\in \mathcal{M} C ∈ M J 0 ⊇ J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⋯ ⊇ J_{0}\supseteq J_{1}\supseteq J_{2}\supseteq\dots \supseteq J 0 ⊇ J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⋯ ⊇ μ ( J 0 ) = 1 < ∞ \mu(J_{0})=1<\infty μ ( J 0 ) = 1 < ∞
⟹ μ ( C ) = lim n → ∞ μ ( J n ) \implies\mu(\mathcal{C})=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \mu(J_{n}) ⟹ μ ( C ) = n → ∞ lim μ ( J n ) Cada J n J_{n} J n 2 n 2^{n} 2 n 1 3 n ⟹ μ ( J n ) = ( 2 3 ) n \frac{1}{3^{n}}\implies \mu(J_{n})=\left( \frac{2}{3} \right)^{n} 3 n 1 ⟹ μ ( J n ) = ( 3 2 ) n
⟹ μ ( C ) = 0 \implies \mu(\mathcal{C})=0 ⟹ μ ( C ) = 0
C \mathcal{C} C # C = c \#\mathcal{C}=c # C = c
C = { x = ∑ n = 0 ∞ a n ⋅ 1 3 n : a n = 0 ∨ a n = 2 } \mathcal{C}=\left\{ x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot \frac{1}{3^{n} }:a_{n}=0\lor a_{n}=2 \right\} C = { x = n = 0 ∑ ∞ a n ⋅ 3 n 1 : a n = 0 ∨ a n = 2 } Citas y Comentarios
Con esta clase ya podemos hacer toda la guía 8.