Thu-29-05-2025 18:01
profe: Natalia Accomazzo Scotti
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tags: Sucesiones y Series de funciones
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sean f n : X → Y , f : X → Y . Con X conjunto, ( Y , d ′ ) espacio m e ˊ trico. Vamos a decir que ( f n ) converge puntualmente a f si f n ( x ) ⟶ f ( x ) ∀ x ∈ X \begin{array}{l}
\text{Sean $f_{n}:X\to Y,f:X\to Y.$ Con $X$ conjunto, $(Y,d')$ espacio métrico. }\\
\text{Vamos a decir que $(f_{n})$ converge puntualmente a $f$ si $f_{n}(x)\longrightarrow f(x)\qquad\forall x \in X$ }
\end{array} Sean f n : X → Y , f : X → Y . Con X conjunto, ( Y , d ′ ) espacio m e ˊ trico. Vamos a decir que ( f n ) converge puntualmente a f si f n ( x ) ⟶ f ( x ) ∀ x ∈ X Equivalentemente ∀ x ∈ X , ∀ E > 0 ∃ n 0 ∈ N ∣ s i n ≥ n 0 ⟹ d ′ ( f n ( x ) , f ( x ) ) < E \forall x \in X,\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|si\:n\geq n_{0}\implies d'(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E} ∀ x ∈ X , ∀ E > 0 ∃ n 0 ∈ N s i n ≥ n 0 ⟹ d ′ ( f n ( x ) , f ( x )) < E
E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os :
f n : R → R ∣ f n ( x ) = n x + 1 n f_{n}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\bigm|f_{n}(x)=\frac{nx+1}{n} f n : R → R f n ( x ) = n n x + 1
f ( x ) = x , f n ( x ) ⟶ f ( x ) f(x)=x,f_{n}(x)\longrightarrow f(x) f ( x ) = x , f n ( x ) ⟶ f ( x )
∣ n x + 1 n − x ∣ = ∣ n x + 1 − n x n ∣ = 1 n < E si n ≥ n 0 \left| \frac{nx+1}{n}-x \right| =\left| \frac{nx+1-nx}{n} \right| =\frac{1}{n}<\mathcal{E}\quad \text{si }n\geq n_{0} n n x + 1 − x = n n x + 1 − n x = n 1 < E si n ≥ n 0
f n : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] ∣ f n ( x ) = x n f_{n}:[0,1]\to[0,1]\bigm|f_{n}(x)=x^{n} f n : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] f n ( x ) = x n
f ( x ) = { 0 x < 1 1 c c f(x)=\begin{cases}
0 & x<1 \\
1 & cc
\end{cases} f ( x ) = { 0 1 x < 1 cc TAREA: ver que f n ( x ) → f ( x ) f_{n}(x)\to f(x) f n ( x ) → f ( x )
O b s : Obs: O b s : ( f n ) (f_{n}) ( f n ) f f f
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
f n , f : X → Y f_{n},f:X\to Y f n , f : X → Y ( f n ) (f_{n}) ( f n ) f f f ∀ E > 0 ∃ n 0 ∈ N ∣ \forall\mathcal{E}>0 \:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm| ∀ E > 0 ∃ n 0 ∈ N
d ′ ( f n ( x ) , f ( x ) ) < E ∀ x ∈ X ⟺ s u p x ∈ X ∣ d ′ ( f n ( x ) , f ( x ) ) ∣ < E d'(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad \forall x \in X\iff \underset{ x \in X }{ sup }\:\left| d'(f_{n}(x),f(x)) \right| <\mathcal{E} d ′ ( f n ( x ) , f ( x )) < E ∀ x ∈ X ⟺ x ∈ X s u p ∣ d ′ ( f n ( x ) , f ( x )) ∣ < E Notación: f n ⇉ f f_{n}\rightrightarrows f f n ⇉ f f n → f f_{n}\to f f n → f
E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os :
f n ( x ) = n x + 1 n , f_{n}(x)=\frac{nx+1}{n}, f n ( x ) = n n x + 1 , f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x f n ⇉ f f_{n}\rightrightarrows f f n ⇉ f
∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 1 n < E ∀ x ∈ R |f_{n}(x)-f(x)|= \frac{1}{n}<\mathcal{E}\quad \forall x \in \mathbb{R} ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = n 1 < E ∀ x ∈ R
f n ( x ) = x n , f_{n}(x)=x^{n}, f n ( x ) = x n ,
f ( x ) = { 0 x < 1 1 c c f(x)=\begin{cases}
0 & x<1 \\
1 & cc
\end{cases} f ( x ) = { 0 1 x < 1 cc Sea E < 1 \mathcal{E}<1 E < 1 ∀ n ∈ N , ∃ x ∈ [ 0 , 1 ] \forall n\in \mathbb{N},\:\exists\:x \in[0,1] ∀ n ∈ N , ∃ x ∈ [ 0 , 1 ]
∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ ≥ E |f_{n}(x)-f(x)|\geq \mathcal{E} ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ ≥ E Sea n ∈ N , n \in \mathbb{N}, n ∈ N ,
∣ x n ∣ ≥ E ⟺ x ≥ n E ⟹ E 1 / n < 1 |x^{n} |\geq \mathcal{E}\iff x\geq ^{n}\sqrt{ \mathcal{E} }\implies \mathcal{E}^{ 1/n} <1 ∣ x n ∣ ≥ E ⟺ x ≥ n E ⟹ E 1/ n < 1 pues E < 1 \mathcal{E}<1 E < 1
Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
Sean ( X , d ) , ( Y , d ′ ) espacios m e ˊ tricos. f n , f : X → Y . ( f n ) continuas, f n ⇉ f entonces f continua. \begin{array}{l}
\text{Sean $(X,d)$, $(Y,d')$ espacios métricos. $f_{n},f:X\to Y$.}\\
\text{$(f_{n})$ continuas, $f_{n}\rightrightarrows f$ entonces $f$ continua.}
\end{array} Sean ( X , d ) , ( Y , d ′ ) espacios m e ˊ tricos. f n , f : X → Y . ( f n ) continuas, f n ⇉ f entonces f continua. Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem:
d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d ′ ( f ( x ) , f n ( x ) ) + d ′ ( f n ( x ) , f n ( y ) ) + d ′ ( f n ( y ) , f ( y ) ) d'(f(x),f(y))\leq d'(f(x),f_{n}(x))+d'(f_{n}(x),f_{n}(y))+d'(f_{n}(y),f(y)) d ′ ( f ( x ) , f ( y )) ≤ d ′ ( f ( x ) , f n ( x )) + d ′ ( f n ( x ) , f n ( y )) + d ′ ( f n ( y ) , f ( y )) Tengo que acotar esto.
Sea n 0 ∈ N ∣ n ≥ n 0 ⟹ n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|n\geq n_{0}\implies n 0 ∈ N n ≥ n 0 ⟹
s u p z ∈ X d ′ ( f n ( z ) , f ( z ) ) < E 3 \underset{ z \in X }{ sup }\: d'(f_{n}(z),f(z)) < \frac{\mathcal{E}}{3} z ∈ X s u p d ′ ( f n ( z ) , f ( z )) < 3 E Como f n 0 f_{n_{0}} f n 0 δ > 0 ∣ d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f n 0 ( x ) , f n 0 ( y ) ) < E 3 \delta>0\bigm|d(x,y)<\delta\implies d'(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y))<\frac{\mathcal{E}}{3} δ > 0 d ( x , y ) < δ ⟹ d ′ ( f n 0 ( x ) , f n 0 ( y )) < 3 E d ( x , y ) < δ d(x,y)<\delta d ( x , y ) < δ
⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) < E \implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E} ⟹ d ′ ( f ( x ) , f ( y )) < E Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sean f n : X → Y , ( Y , d ′ ) espacio m e ˊ trico. Decimos que ( f n ) n ∈ N es uniformemente de Cauchy si ∀ E > 0 ∃ n 0 ∣ n , m ≥ n 0 ⟹ s u p x ∈ X d ′ ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < E \begin{array}{l}
\text{Sean $f_{n}:X\to Y,(Y,d')$ espacio métrico.}\\
\text{Decimos que $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es uniformemente de Cauchy si $\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:n_{0}\bigm|n,m\geq n_{0}\implies$ }\\
\underset{ x \in X }{ sup }\: d'(f_{n}(x),f_{m}(x)) <\mathcal{E}
\end{array} Sean f n : X → Y , ( Y , d ′ ) espacio m e ˊ trico. Decimos que ( f n ) n ∈ N es uniformemente de Cauchy si ∀ E > 0 ∃ n 0 n , m ≥ n 0 ⟹ x ∈ X s u p d ′ ( f n ( x ) , f m ( x )) < E Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
Sean f n : X → Y uniformemente de Cauchy y completo. Entonces f n ⇉ f \begin{array}{l}
\text{Sean $f_{n}:X\to Y$ uniformemente de Cauchy y completo. Entonces $f_{n}\rightrightarrows f$ }
\end{array} Sean f n : X → Y uniformemente de Cauchy y completo. Entonces f n ⇉ f Dem: {\color{violet} \text{Dem:} } Dem: x ∈ X , ( f n ) n ∈ N ⊆ Y . x \in X,( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq Y. x ∈ X , ( f n ) n ∈ N ⊆ Y . ( f n ) n ∈ N ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ( f n ) n ∈ N Y Y Y f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) f(x)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n}(x) f ( x ) = n → ∞ lim f n ( x ) E > 0. \mathcal{E}>0. E > 0. n 0 n_{0} n 0 m , n ≥ n 0 ⟹ m,n\geq n_{0}\implies m , n ≥ n 0 ⟹
s u p x ∈ X d ′ ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < E 2 \underset{ x \in X }{ sup }\:\:d'(f_{n}(x),f_{m}(x))<\frac{\mathcal{E}}{2} x ∈ X s u p d ′ ( f n ( x ) , f m ( x )) < 2 E Sea x ∈ X x \in X x ∈ X n ≥ n 0 n\geq n_{0} n ≥ n 0
d ′ ( f n ( x ) , f ( x ) ) ≤ d ′ ( f n ( x ) , f m ( x ) ) + d ′ ( f m ( x ) , f ( x ) ) d'(f_{n}(x),f(x))\leq d'(f_{n}(x),f_{m}(x))+d'(f_{m}(x),f(x)) d ′ ( f n ( x ) , f ( x )) ≤ d ′ ( f n ( x ) , f m ( x )) + d ′ ( f m ( x ) , f ( x ))
Si m m m m . m. m . n n n n ≥ n 0 n\geq n_{0} n ≥ n 0
Elijo m ∣ m ≥ n 0 m\bigm|m\geq n_{0} m m ≥ n 0 d ′ ( f m ( x ) , f ( x ) ) < E 2 d'(f_{m}(x),f(x))<\frac{\mathcal{E}}{2} d ′ ( f m ( x ) , f ( x )) < 2 E
d ′ ( f n ( x , f ( x ) ) ) < E 2 + E 2 d'(f_{n}(x,f(x)))< \frac{\mathcal{E}}{2}+\frac{\mathcal{E}}{2} d ′ ( f n ( x , f ( x ))) < 2 E + 2 E Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
B ( X ) = { f : X → R acotadas } B(X)=\{ f:X\to \mathbb{R}\text{ acotadas} \} B ( X ) = { f : X → R acotadas } es un normado. ∣ ∣ f ∣ ∣ ∞ = s u p x ∈ X ∣ f ( x ) ∣ \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty}=\underset{ x \in X }{ sup }\:\left| f(x) \right| ∣∣ f ∣ ∣ ∞ = x ∈ X s u p ∣ f ( x ) ∣ ( f n ) n ∈ N ⊆ B ( x ) ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq B(x) ( f n ) n ∈ N ⊆ B ( x ) ⟺ ( f n ) n ∈ N \iff ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ⟺ ( f n ) n ∈ N
El teorema anterior me dice que ∣ ∣ f n − f ∣ ∣ ∞ → 0 \lvert \lvert f_{n}-f \rvert\rvert_{\infty}\to0 ∣∣ f n − f ∣ ∣ ∞ → 0 ( B ( X ) , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) (B(X),\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty}) ( B ( X ) , ∣∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) f ∈ B ( X ) f \in B(X) f ∈ B ( X )
∣ ∣ f ∣ ∣ ∞ ≤ ∣ ∣ f − f n ∣ ∣ ∞ + ∣ ∣ f n ∣ ∣ ∞ \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty} \leq \lvert \lvert f-f_{n} \rvert\rvert_{\infty} +\lvert \lvert f_{n} \rvert\rvert_{\infty} ∣∣ f ∣ ∣ ∞ ≤ ∣∣ f − f n ∣ ∣ ∞ + ∣∣ f n ∣ ∣ ∞ Si n ∣ ∣ ∣ f − f n ∣ ∣ ∞ ≤ 1 ⟹ n\bigm|\lvert \lvert f-f_{n} \rvert\rvert_{\infty}\leq1\implies n ∣∣ f − f n ∣ ∣ ∞ ≤ 1 ⟹
∣ ∣ f ∣ ∣ ∞ ≤ 1 + ∣ ∣ f n ∣ ∣ ∞ < ∞ \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty} \leq 1+\lvert \lvert f_{n} \rvert\rvert_{\infty} <\infty ∣∣ f ∣ ∣ ∞ ≤ 1 + ∣∣ f n ∣ ∣ ∞ < ∞ Conclusión ( B ( x ) , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) (B(x),\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty}) ( B ( x ) , ∣∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ )
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Teorema \begin{array}{l}
\text{Teorema}
\end{array} Teorema Sea K K K
C ( K ) = { f : K → R continuas } C(K)=\{ f:K\to \mathbb{R}\text{ continuas} \} C ( K ) = { f : K → R continuas } Es un normado con
∣ ∣ f ∣ ∣ ∞ = s u p x ∈ K ∣ f ( x ) ∣ \lvert \lvert f \rvert\rvert_{\infty} =\underset{ x \in K }{ sup }\:\left| f(x) \right| ∣∣ f ∣ ∣ ∞ = x ∈ K s u p ∣ f ( x ) ∣ O b s : Obs: O b s :
( C ( K ) , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) es Banach \text{$(C(K),\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty})$ es Banach} ( C ( K ) , ∣∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) es Banach ( f n ) n ∈ N ⊆ C ( K ) ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C(K) ( f n ) n ∈ N ⊆ C ( K ) ⟹ \implies ⟹ f f f ( f n ) n ∈ N ( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ( f n ) n ∈ N ⟹ f \implies f ⟹ f
Acá solo usé que K K K
Pregunta: En el 1er teorema de hoy, si pedimos f n : X → Y f_{n}:X\to Y f n : X → Y f n ⇉ f ⟹ f f_{n}\rightrightarrows f\implies f f n ⇉ f ⟹ f
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sean f n , f : [ a , b ] → R continuas. f n ⇉ f . Entonces ∫ a b f n ( t ) d t ⟶ ∫ a b f ( t ) d t \begin{array}{l}
\text{Sean $f_{n},f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuas. $f_{n}\rightrightarrows f$. Entonces}\\
\displaystyle \int _{a}^{b} f_{n}(t) \, dt\longrightarrow \int _{a}^{b} f(t) \, dt
\end{array} Sean f n , f : [ a , b ] → R continuas. f n ⇉ f . Entonces ∫ a b f n ( t ) d t ⟶ ∫ a b f ( t ) d t Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
∣ ∫ a b f n ( t ) d t − ∫ a b f ( t ) d t ∣ = ∣ ∫ a b f n ( t ) − f ( t ) d t ∣ ≤ ∫ a b ∣ f n ( t ) − f ( t ) ∣ d t ≤ \left| \int _{a}^{b} f_{n}(t) \, dt-\int _{a}^{b} f(t) \, dt \right| =\left| \int _{a}^{b} f_{n}(t)-f(t) \, dt \right| \leq \int _{a}^{b} |f_{n}(t)-f(t)| \, dt\leq ∫ a b f n ( t ) d t − ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f n ( t ) − f ( t ) d t ≤ ∫ a b ∣ f n ( t ) − f ( t ) ∣ d t ≤ ≤ ( b − a ) ⋅ ∣ ∣ f − f n ∣ ∣ ∞ ⟶ 0 \leq (b-a)\cdot \lvert \lvert f-f_{n} \rvert\rvert_{\infty} \longrightarrow 0 ≤ ( b − a ) ⋅ ∣∣ f − f n ∣ ∣ ∞ ⟶ 0 O b s : Obs: O b s :
I : ( C [ a , b ] , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) → R f ↦ ∫ a b f ( t ) d t \begin{array}{c}
\mathcal{I}:(C[a,b],\lvert \lvert \cdot \rvert\rvert_{\infty} )\to \mathbb{R} \\
\qquad \qquad \displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b} f(t) \, dt
\end{array} I : ( C [ a , b ] , ∣∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) → R f ↦ ∫ a b f ( t ) d t Luego, I \mathcal{I} I
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
C 1 ( [ a , b ] ) = { f : [ a , b ] → R derivables y f ′ continua. } \begin{array}{l}
C^{1} ([a,b])=\{ f:[a,b]\to \mathbb{R}\text{ derivables y $f'$ continua.} \} \\
\end{array} C 1 ([ a , b ]) = { f : [ a , b ] → R derivables y f ′ continua. } Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sea ( f n ) n ∈ N ⊆ C 1 ( [ a , b ] ) . f n ⟶ f puntualmente y f n ′ ⇉ g . Entonces f es derivable y f ′ = g . \begin{array}{l}
\text{Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C^{1}([a,b])$. $f_{n}\longrightarrow f$ puntualmente y $f_{n}'\rightrightarrows g.$}\\
\text{ Entonces $f$ es derivable y $f'=g$.}
\end{array} Sea ( f n ) n ∈ N ⊆ C 1 ([ a , b ]) . f n ⟶ f puntualmente y f n ′ ⇉ g . Entonces f es derivable y f ′ = g . Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: g g g f n ′ f_{n}' f n ′
∫ a b f n ′ ( t ) d t ⟶ ∫ a b g ( t ) d t \int _{a}^{b} f_{n}'(t) \, dt\longrightarrow \int _{a}^{b} g(t) \, dt ∫ a b f n ′ ( t ) d t ⟶ ∫ a b g ( t ) d t Por teorema fundamental del cálculo
f n ( t ) − f n ( a ) = ∫ a b f n ′ ( t ) d t f_{n}(t)-f_{n}(a)=\int _{a}^{b} f_{n}'(t) \, dt f n ( t ) − f n ( a ) = ∫ a b f n ′ ( t ) d t Luego esto tiende a
f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x g ( t ) d t f(x)=f(a)+\int _{a}^{x} g(t) \, dt f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x g ( t ) d t Entonces por TFC. f ′ = g f'=g f ′ = g
Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Citas y Comentarios