#14Compacidad

2025 - Teórica 14 - Punto fijo

34 min de lectura

Tue-20-05-2025 18:08 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags:Compacidad

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea f:M→M. x∈M es un punto fijo si f(x)=x \begin{array}{l} \text{Sea $f:M\to M.$ $x \in M$ es un punto fijo si $f(x)=x$ } \end{array}

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Si f:[0,1]→[0,1] continua   ⟹  f tiene al menos un punto fijo.\begin{array}{l} \text{Si $f:[0,1] \to[0,1]$ continua $\implies f$ tiene al menos un punto fijo.} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Sea g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-x
gg cumple hipótesis de Bolzano.

g(0)=f(0)≥0g(1)=f(1)−1≤0\begin{array}{c} g(0)=f(0)\geq 0 \\ g(1)=f(1)-1\leq 0 \end{array}

gg es continua   ⟹  \implies por Bolzano:

 ∃ x0∈[0,1]∣g(x0)=0  ⟹  f(x0)=x0\:\exists\:x_{0}\in[0,1]\bigm| g(x_{0})=0\implies f(x_{0})=x_{0}

[!infobox] Teorema: Punto Fijo (Caso Unidimensional) Contexto: Análisis Real / Funciones Continuas. Enunciado: Sea f:[0,1]→[0,1]f: [0,1] \to [0,1] una función continua. Entonces existe al menos un punto c∈[0,1]c \in [0,1] tal que f(c)=cf(c) = c. Clave: Se define una función auxiliar g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x y se aplica el Teorema de Bolzano (Valor Intermedio).

Demostración Formal

Definimos la función auxiliar g:[0,1]→Rg: [0,1] \to \mathbb{R} dada por:

g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x

1. Continuidad de la función auxiliar La función ff es continua por hipótesis y la función identidad id(x)=xid(x)=x es continua (polinomio). Dado que la resta de funciones continuas es continua, gg es continua en el intervalo cerrado [0,1][0,1].

2. Evaluación en los extremos Analizamos el signo de gg en los bordes del intervalo, utilizando la hipótesis de que la imagen de ff está contenida en [0,1][0,1] (es decir, 0≤f(x)≤10 \leq f(x) \leq 1 para todo xx):

  • En x=0x=0:
g(0)=f(0)−0=f(0)g(0) = f(0) - 0 = f(0) 
Como $f(0) \in [0,1]$, entonces $f(0) \geq 0$. Por lo tanto, **$g(0) \geq 0$**.
  • En x=1x=1:
g(1)=f(1)−1g(1) = f(1) - 1 
Como $f(1) \in [0,1]$, entonces $f(1) \leq 1$, lo que implica $f(1) - 1 \leq 0$. Por lo tanto, **$g(1) \leq 0$**.

3. Aplicación del Teorema de Bolzano Tenemos una función continua gg definida en un intervalo cerrado tal que g(0)≥0g(0) \geq 0 y g(1)≤0g(1) \leq 0. Consideramos dos casos:

  • Caso A: Si g(0)=0g(0)=0 o g(1)=0g(1)=0, entonces x=0x=0 o x=1x=1 son puntos fijos triviales y el teorema se cumple.
  • Caso B: Si g(0)>0g(0) > 0 y g(1)<0g(1) < 0, hay un cambio estricto de signo. Por el Teorema de Bolzano (Teorema del Valor Intermedio), existe al menos un c∈(0,1)c \in (0,1) tal que g(c)=0g(c) = 0.

4. Conclusión En cualquier caso, existe c∈[0,1]c \in [0,1] tal que:

g(c)=0  ⟺  f(c)−c=0  ⟺  f(c)=cg(c) = 0 \iff f(c) - c = 0 \iff f(c) = c

Por lo tanto, cc es un punto fijo de ff. ■\blacksquare

Obs:Obs:

Sea f:M→Mf:M\to M continua, x0∈Mx_{0} \in M Defino la sucesión:

xn+1=f(xn)∀n≥1x_{n+1}=f(x_{n})\quad \forall n\geq 1 (xn)n∈N⊆M( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M

Supongamos que xn⟶xx_{n}\longrightarrow x Como ff continua, entonces:

f(xn)⟶f(x)f(x_{n})\longrightarrow f(x)

Pero por definición de mi sucesión tengo que

xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})

Luego

xn+1⟶f(x)x_{n+1}\longrightarrow f(x)   ⟹  f(x)=x\implies f(x)=x

[!infobox] Proposición: Convergencia a un Punto Fijo Contexto: Espacios Métricos / Análisis Numérico. Enunciado: Sea (M,d)(M, d) un espacio métrico y f:M→Mf: M \to M una función continua. Sea (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}} la sucesión definida iterativamente por xn+1=f(xn)x_{n+1} = f(x_n) con x0∈Mx_0 \in M. Si la sucesión converge a un punto x∈Mx \in M, entonces xx es un punto fijo de ff (es decir, f(x)=xf(x) = x). Advertencia: Esto no garantiza que la sucesión converja. Solo dice que SI converge, el límite es un punto fijo. (Para garantizar convergencia se requiere que ff sea una contracción - Teorema de Banach).

Demostración Formal

1. Definición de la sucesión Sea la sucesión definida por la recurrencia:

xn+1=f(xn)∀n≥0x_{n+1} = f(x_n) \quad \forall n \geq 0

2. Hipótesis de Convergencia Supongamos que la sucesión converge a un punto x∈Mx \in M:

lim⁡n→∞xn=x\lim_{n \to \infty} x_n = x

Esto implica que cualquier subsucesión o desplazamiento de índice también converge al mismo límite. En particular, la sucesión desplazada (xn+1)(x_{n+1}) cumple:

lim⁡n→∞xn+1=x(∗)\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x \quad (*)

3. Aplicación de la Continuidad Dado que ff es continua en xx, el límite de la imagen es la imagen del límite (caracterización secuencial de la continuidad):

lim⁡n→∞f(xn)=f(lim⁡n→∞xn)=f(x)\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = f(x)

Por la definición de la sucesión, sabemos que f(xn)=xn+1f(x_n) = x_{n+1}. Sustituyendo esto en el límite anterior:

lim⁡n→∞xn+1=f(x)(∗∗)\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = f(x) \quad (**)

4. Conclusión (Unicidad del Límite) En un espacio métrico, el límite de una sucesión es único. Igualando los resultados (∗)(*) y (∗∗)(**):

x=f(x)x = f(x)

Por lo tanto, xx es un punto fijo de ff. ■\blacksquare

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sea f:M→N, se dice que es una contraccioˊn si  ∃ 0<c<1 tal qued(f(x),f(y))<c⋅d(x,y)∀x,y∈M \begin{array}{l} \text{Sea $f:M\to N$, se dice que es una contracción si $\:\exists\:0<c<1$ tal que}\\ \text{$d(f(x),f(y))<c\cdot d(x,y)\quad\forall x,y \in M$ } \end{array}

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

f:M→M una contraccioˊn y M completo. Entonces f tiene un uˊnico punto fijo.\begin{array}{l} \text{$f:M\to M$ una contracción y $M$ completo. Entonces $f$ tiene un único punto fijo.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Sea x0∈M.x_{0}\in M. Defino xn=f(xn−1),n≥1x_{n}=f(x_{n-1}),n\geq 1 . Notar que (xn)⊆M(x_{n})\subseteq M Quiero ver que xn⟶x∈Mx_{n}\longrightarrow x \in M Como MM es completo, basta ver que es de Cauchy.

d(x1,x0)=d(f(x0),x0)d(x2,x1)=d(f(x1),f(x0))≤c⋅d(x1,x0)=c⋅d(f(x1),x0)\begin{array}{c} d(x_{1},x_{0})=d(f(x_{0}),x_{0}) \\ d(x_{2},x_{1})=d(f(x_{1}),f(x_{0}))\leq c\cdot d(x_{1},x_{0})=c\cdot d(f(x_{1}),x_{0}) \end{array}

De esta manera entonces:

Sea m,n∈M.m,n \in M. Supongo m=n+km=n+k Luego

d(xm,xn)≤d(xm,xm+1)⏟≤cm−1⋅d(f(x0),x0)+⋯+d(xn+1,xn)⏟≤cn⋅d(f(x0),x0)d(x_{m},x_{n})\leq \underbrace{ d(x_{m},x_{m+1}) }_{ \leq c^{m-1}\cdot d(f(x_{0}),x_{0}) }+\dots+\underbrace{ d(x_{n+1},x_{n}) }_{ \leq c^{n}\cdot d(f(x_{0}),x_{0}) }

que sacando factor común tengo

≤d(f(x0),x0)⋅(cn+cn+1+⋯+cm−1)\leq d(f(x_{0}),x_{0})\cdot(c^{n} +c^{n+1} +\dots+c^{m-1} ) =d(f(x0),x0)⋅cn⋅(1+c+c2+⋯+ck−1)=d(f(x_{0}),x_{0})\cdot c^{n} \cdot(1+c+c^{2} +\dots+c^{k-1} )

aparece una seri geométrica

1+c+⋯+ck−1=∑i=0k−1ci≤∑i=0∞ci=11−c1+c+\dots+c^{k-1} =\sum_{i=0}^{k-1} c^{i} \leq \sum_{i=0}^{\infty} c^{i} =\frac{1}{1-c}

Finalmente

d(xm,xn)≤cn1−c⋅d(f(x0),x0)d(x_{m},x_{n})\leq \frac{c^{n} }{1-c}\cdot d(f(x_{0}),x_{0})

Así, sea E>0\mathcal{E}>0, sea n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} tal que

cn1−c⋅d(f(x0),x0)<E∀n≥n0\frac{c^{n} }{1-c}\cdot d(f(x_{0}),x_{0})<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0}

puede porque cn1−c⟶0\frac{c^{n}}{1-c}\longrightarrow 0 Si m,n≥n0m,n\geq n_{0}

d(xm,xn)<Ed(x_{m},x_{n})<\mathcal{E}

Como MM es completo xn⟶xx_{n}\longrightarrow x y xx punto fijo. Por otro lado teníamos que f(xn)⟶f(x)f(x_{n})\longrightarrow f(x) pues ff continua. Y como xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n}) entonces f(x)=xf(x)=x

Veamos unicidad, supongamos que  ∃ y≠x,f(y)=y\:\exists\:y\neq x,f(y)=y

d(y,x)=d(f(y),f(x))≤c⋅d(y,x)<d(y,x)d(y,x)=d(f(y),f(x))\leq c\cdot d(y,x)<d(y,x)

Absurdo, por lo tanto xx es punto fijo.

[!infobox] Teorema: Punto Fijo de Banach Contexto: Espacios Métricos Completos / Ecuaciones Diferenciales. Enunciado: Sea (M,d)(M, d) un espacio métrico completo y f:M→Mf: M \to M una contracción (es decir, existe 0≤c<10 \le c < 1 tal que d(f(x),f(y))≤c⋅d(x,y)d(f(x), f(y)) \le c \cdot d(x,y) para todo x,y∈Mx,y \in M). Entonces ff tiene un único punto fijo x∗∈Mx^* \in M. Clave: Se construye una sucesión iterativa (de Cauchy) cuyas distancias están acotadas por una serie geométrica convergente.

Demostración Formal

Parte A: Existencia

1. Construcción de la sucesión Sea x0∈Mx_0 \in M un punto arbitrario. Definimos la sucesión iterativa:

xn=f(xn−1)∀n≥1x_{n} = f(x_{n-1}) \quad \forall n \geq 1

2. Acotación de pasos consecutivos (Inducción) Evaluamos la distancia entre dos términos consecutivos:

d(xn+1,xn)=d(f(xn),f(xn−1))≤c⋅d(xn,xn−1)d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \leq c \cdot d(x_n, x_{n-1})

Aplicando esto recursivamente nn veces, obtenemos:

d(xn+1,xn)≤cn⋅d(x1,x0)(∗)d(x_{n+1}, x_n) \leq c^n \cdot d(x_1, x_0) \quad (*)

3. Prueba de que es una sucesión de Cauchy Sean m,n∈Nm, n \in \mathbb{N} con m>nm > n. Por la desigualdad triangular:

d(xn,xm)≤d(xn,xn+1)+d(xn+1,xn+2)+⋯+d(xm−1,xm)d(x_n, x_m) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x_{n+2}) + \dots + d(x_{m-1}, x_m)

Usando la cota (∗)(*) en cada término:

d(xn,xm)≤cnd(x1,x0)+cn+1d(x1,x0)+⋯+cm−1d(x1,x0)d(x_n, x_m) \leq c^n d(x_1, x_0) + c^{n+1} d(x_1, x_0) + \dots + c^{m-1} d(x_1, x_0)

Sacando factor común cnd(x1,x0)c^n d(x_1, x_0):

d(xn,xm)≤cnd(x1,x0)(1+c+c2+⋯+cm−n−1)d(x_n, x_m) \leq c^n d(x_1, x_0) \left( 1 + c + c^2 + \dots + c^{m-n-1} \right)

La suma entre paréntesis es una suma parcial de una serie geométrica. Como c<1c < 1, podemos acotarla por la serie infinita:

∑k=0∞ck=11−c\sum_{k=0}^{\infty} c^k = \frac{1}{1-c}

Por lo tanto:

d(xn,xm)≤cn1−cd(x1,x0)d(x_n, x_m) \leq \frac{c^n}{1-c} d(x_1, x_0)

Dado que c<1c < 1, lim⁡n→∞cn=0\lim_{n \to \infty} c^n = 0. Esto implica que para nn suficientemente grande, d(xn,xm)d(x_n, x_m) se hace arbitrariamente pequeña. Luego, (xn)(x_n) es una sucesión de Cauchy.

4. Convergencia y Punto Fijo Como MM es un espacio métrico completo, la sucesión de Cauchy converge a un punto x∗∈Mx^* \in M.

lim⁡n→∞xn=x∗\lim_{n \to \infty} x_n = x^*

Toda contracción es una función continua. Usando la proposición de continuidad en sucesiones iterativas:

x∗=lim⁡n→∞xn+1=lim⁡n→∞f(xn)=f(lim⁡n→∞xn)=f(x∗)x^* = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\underset{ n\to \infty }{ \lim } x_{n})=f(x^*)

Por lo tanto, x∗x^* es un punto fijo.

Parte B: Unicidad

Supongamos que existen dos puntos fijos x,y∈Mx, y \in M (es decir, f(x)=xf(x)=x y f(y)=yf(y)=y). Evaluamos la distancia entre ellos:

d(x,y)=d(f(x),f(y))d(x, y) = d(f(x), f(y))

Por la condición de contracción:

d(f(x),f(y))≤c⋅d(x,y)d(f(x), f(y)) \leq c \cdot d(x, y)

Entonces:

d(x,y)≤c⋅d(x,y)d(x, y) \leq c \cdot d(x, y)

Si d(x,y)>0d(x, y) > 0, podemos dividir por esa distancia y obtenemos 1≤c1 \leq c, lo cual es absurdo ya que por hipótesis c<1c < 1. La única posibilidad es que d(x,y)=0d(x, y) = 0, lo que implica x=yx = y. ■\blacksquare

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Si f:M→M tal que d(f(x),f(y))<d(x,y)∀x,y∈My M compacto   ⟹   f tiene un uˊnico punto fijo.\begin{array}{l} \text{Si $f:M\to M$ tal que $d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad\forall x,y \in M$}\\ \text{y $M$ compacto $\implies$ $f$ tiene un único punto fijo.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Sea

A={d(x,f(x)):x∈M}⊆R≥0A=\{ d(x,f(x)):x \in M \}\subseteq R_{\geq 0}

A≠∅A\neq \emptyset y AA está acotado inferiormente. Entonces  ∃ inf(A)\:\exists\:inf(A)

Sea i=inf(A).i=inf(A). Existe (xn)n∈N⊆M( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq M tal que

d(xn,f(xn))⟶id(x_{n},f(x_{n}))\longrightarrow i

Como MM compacto   ⟹   ∃ (xnk)⊆M∣xnk⟶x∈M\implies \:\exists\:(x_{n_{k}})\subseteq M\bigm|x_{n_{k}}\longrightarrow x \in M

  ⟹  d(xnk,f(xnk))⟶i\implies d(x_{n_{k}},f(x_{n_{k}}))\longrightarrow i

Luego aplico ff a xnk⟶xx_{n_{k}}\longrightarrow x porque no puedo asegurar que (xn)(x_{n}) converge. Como ff continua:

f(xnk)⟶f(x)f(x_{n_{k}})\longrightarrow f(x)   ⟹  d(xnk,f(xnk))⟶d(x,f(x)) TAREA, ver esto\implies d(x_{n_{k}},f(x_{n_{k}}))\longrightarrow d(x,f(x))\quad \text{ TAREA, ver esto}

  ⟹  i=d(x,f(x))∈A  ⟹  i=min(A)\implies i=d(x,f(x))\in A\implies i=min(A)

Veamos que i=0i=0. Supongamos que no d(x,f(x))>0  ⟹  f(x)≠xd(x,f(x))>0\implies f(x)\neq x Sea y=f(x)≠xy=f(x)\neq x

d(y,f(y))=d(f(x),f(y))<d(x,y)=d(x,f(x))d(y,f(y))=d(f(x),f(y))<d(x,y)=d(x,f(x))

Pero min(A)=d(x,f(x))min(A)=d(x,f(x)) y d(y,f(y))∈Ad(y,f(y))\in A . Es decir, encontramos un elemento en AA que es más chico que el mínimo. Absurdo.   ⟹  inf(A)=0\implies inf(A)=0 Por lo tanto xx es punto fijo pues d(x,f(x))=i=0=∣f(x)−x∣  ⟹  f(x)=xd(x,f(x))=i=0=|f(x)-x|\implies f(x)=x

Unicidad: Supongo  ∃ y≠x∣y=f(y)\:\exists\:y\neq x\bigm|y=f(y)

d(y,x)=d(f(y),f(x))<d(y,x)d(y,x)=d(f(y),f(x))<d(y,x)

Absurdo.   ⟹  x\implies x es el único punto fijo.

Q.E.D.□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square

[!infobox] Teorema: Punto Fijo en Compactos (Edelstein) Contexto: Espacios Métricos Compactos. Enunciado: Sea (M,d)(M, d) un espacio métrico compacto y f:M→Mf: M \to M una función tal que d(f(x),f(y))<d(x,y)d(f(x), f(y)) < d(x, y) para todo x≠yx \neq y. Entonces ff tiene un único punto fijo. Clave: Minimizar la función "desplazamiento" g(x)=d(x,f(x))g(x) = d(x, f(x)). La compacidad garantiza que el mínimo se alcanza; la contracción garantiza que ese mínimo debe ser 0.

Demostración Formal

1. Continuidad de la función desplazamiento Primero, notemos que la función ff es continua. Dado que para x≠yx \neq y, d(f(x),f(y))<d(x,y)d(f(x), f(y)) < d(x, y), la función es 1-Lipschitz (no expansiva), lo que implica continuidad uniforme.

Definimos la función auxiliar g:M→Rg: M \to \mathbb{R} como:

g(x)=d(x,f(x))g(x) = d(x, f(x))

La función gg es continua por ser composición de funciones continuas (la métrica y ff). Formalmente, por la desigualdad triangular: ∣g(x)−g(y)∣≤d(x,y)+d(f(x),f(y))≤2d(x,y)|g(x) - g(y)| \leq d(x, y) + d(f(x), f(y)) \leq 2d(x, y), lo que prueba que gg es continua.

2. Existencia del Mínimo (Weierstrass) Dado que gg es una función continua y su dominio MM es un conjunto compacto, por el Teorema de Weierstrass, gg alcanza su mínimo absoluto en algún punto z∈Mz \in M. Es decir:

g(z)≤g(x)∀x∈Mg(z) \leq g(x) \quad \forall x \in M

3. Prueba de que el mínimo es cero (Contradicción) Queremos demostrar que g(z)=0g(z) = 0. Supongamos, por el absurdo, que g(z)>0g(z) > 0. Esto implica que z≠f(z)z \neq f(z). Evaluamos la función gg en el punto f(z)f(z):

g(f(z))=d(f(z),f(f(z)))g(f(z)) = d(f(z), f(f(z)))

Aplicamos la hipótesis de contracción estricta al par de puntos distintos x=zx=z e y=f(z)y=f(z):

d(f(z),f(f(z)))<d(z,f(z))d(f(z), f(f(z))) < d(z, f(z))

Sustituyendo las definiciones de gg:

g(f(z))<g(z)g(f(z)) < g(z)

Esto es una contradicción, ya que zz era el punto donde gg alcanzaba su mínimo absoluto. Por lo tanto, la suposición es falsa y debe ser que g(z)=0g(z) = 0.

d(z,f(z))=0  ⟹  f(z)=zd(z, f(z)) = 0 \implies f(z) = z

Hemos probado la existencia de un punto fijo zz.

4. Unicidad Supongamos que existen dos puntos fijos distintos x,y∈Mx, y \in M (con x≠yx \neq y). Entonces:

d(x,y)=d(f(x),f(y))d(x, y) = d(f(x), f(y))

Pero por la hipótesis del teorema, como x≠yx \neq y:

d(f(x),f(y))<d(x,y)d(f(x), f(y)) < d(x, y)

Llegamos a que d(x,y)<d(x,y)d(x, y) < d(x, y), lo cual es un absurdo. Por lo tanto, el punto fijo es único. ■\blacksquare

Uff tremenda demo, muy linda.

Citas y Comentarios

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