#1Supremos e ínfimos

2025 - Teórica 1 - Supremos e ínfimos

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Thu-20-03-2025 18:11 profe: Natalia Accomazzo Scotti status: tags: Supremos e ínfimos

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

Sea A⊆R. Decimos que 1. c∈R cota superior de A si c≥a∀a∈A 2. c∈R es el maˊximo de A si es cota superior y ademaˊs c∈A. 3. A es acotado superiormente si tiene alguna cota superior.\begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. Decimos que }\\ \text{1. $c\in \mathbb{R}$ cota superior de $A$ si $c\geq a\quad\forall a \in A$ }\\ \text{2. $c \in \mathbb{R}$ es el máximo de $A$ si es cota superior y además $c \in A.$ }\\ \text{3. $A$ es acotado superiormente si tiene alguna cota superior.} \end{array}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Sea A⊆R,s∈R. Decimos que s es el supremo de A si:1. s es cota superior de A 2. Si s′ es cota superior de A  ⟹  s′≥s \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R},s \in \mathbb{R}.$ Decimos que $s$ es el supremo de $A$ si:}\\ \text{1. $s$ es cota superior de $A$ }\\ \text{2. Si $s'$ es cota superior de $A \implies s'\geq s$ } \end{array}
Ejemplo:Ejemplo:

A=(−∞,1)A=(-\infty,1). 1=sup(A)1=sup(A)

  • Por definición de AA 1 es cota superior
  • Sea s′<1s'<1 qvq s′s' no es cota superior. Puedo tomar el punto s′+12\frac{s'+1}{2}
s′+12<1  ⟺  s′+1<2  ⟺  s′<1\frac{s'+1}{2}<1\iff s'+1<2\iff s'<1

Luego s′+12∈A\frac{s'+1}{2} \in A Ver que s′+12>s′\frac{s'+1}{2}>s' Entonces s′s' no puede ser cota superior   ⟹  1=sup(A)\implies1=sup(A)

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Axioma de completitud

Dado A⊆R,A≠∅A\subseteq \mathbb{R},A\neq \emptyset y acotado superiormente, entonces existe sup(A)∈Rsup(A)\in \mathbb{R}

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

Sea A⊆R. Entonces s=sup(A) si y solo si:1. s es cota superior de A .1. ∀ϵ>0 ∃ aϵ∈A ∣ s−ϵ<aϵ≤s \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. Entonces $s=sup(A)$ si y solo si:}\\ \text{1. $s$ es cota superior de $A$ .}\\ \text{1. $\forall \epsilon> 0\:\exists\:a_{\epsilon}\in A\:|\:s-\epsilon<a_{\epsilon}\leq s$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Ida:

  • ss es cota superior de AA pues s=sup(A)s=sup(A)
  • Dado E>0,\mathcal{E}>0, qvq  ∃ aϵ∈A\:\exists\:a_{\epsilon}\in A con s−ϵ<aϵs-\epsilon<a_{\epsilon} Supongo que no existe, entonces a≤s−ϵ∀a∈Aa\leq s-\epsilon \quad\forall a \in A Pero entonces s−ϵs-\epsilon es cota superior y también s−ϵ<ss-\epsilon<s . Absurdo

Vuelta: Qvq s=sup(A)s=sup(A) Sea s′s' una cota superior de AA. Supongo que s′<ss'<s tenemos 0<s−s′=E0<s-s'=\mathcal{E} Por condición ii)ii)  ∃ aE∈A ∣ s−E<aE≤s\:\exists\:a_{\mathcal{E}}\in A\:|\:s-\mathcal{E}<a_{\mathcal{E}}\leq s

s−E=s−(s−s′)=s′  ⟹   ∃ aE∈A ∣ s′<aEs-\mathcal{E}=s-(s-s')=s'\implies \:\exists\:a_{E}\in A\:|\: s'<a_{\mathcal{E}}

absurdo.

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} } Principio de Arquímedes

N no estaˊ acotado superiormente.Equivalentemente, ∀x∈R ∃ n∈N:x≤n \begin{array}{l} \text{$\mathbb{N}$ no está acotado superiormente.}\\ \text{Equivalentemente, $\forall x \in \mathbb{R}\quad\:\exists\:n \in \mathbb{N}:x\leq n$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } A=NA=\mathbb{N} . Supongo que está acotado superiormente. N≠∅\mathbb{N}\neq \emptyset

Por completitud  ∃ s=su(N)\:\exists\:s=su(\mathbb{N}) . Por la prop. E=1\mathcal{E}=1

 ∃ n∈N ∣ s−1<n≤s  ⟹  s<n+1 abs!\:\exists\:n \in \mathbb{N}\:|\: s-1<n\leq s\implies s<n+1\text{ abs!}

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} } Principio de Arquímedes 2

∀y∈R,y>0 existe un n∈N ∣ 0<1n<y \begin{array}{l} \text{$\forall y \in \mathbb{R},y>0$ existe un $n\in \mathbb{N}\:|\:0<\frac{1}{n}<y$ } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Como y>0, ∃ 1y∈Ry>0,\:\exists\:\frac{1}{y}\in \mathbb{R} Por Arquímedes,  ∃ n∈N ∣ 1y<n  ⟺  1n<y\:\exists\:n \in \mathbb{N}\:|\:\frac{1}{y}<n\iff \frac{1}{n}<y

Teorema 1:{\color{violet} \text{Teorema 1:} }

Sea A⊆R,A≠∅ y acotado inferiormente   ⟹   ∃ i=inf(A) \begin{array}{l} \text{Sea $A\subseteq \mathbb{R},A\neq \emptyset$ y acotado inferiormente $\implies \:\exists\:i=inf(A)$ } \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Sea −A={−a:a∈A}-A=\{ -a:a \in A \} Entonces −A-A es acotado superiormente: Como AA es acotado inferiormente   ⟹   ∃ c∈R\implies \:\exists\:c\in \mathbb{R} cota inferior de A  ⟹  c≤a∀a∈A  ⟹  −c≥−a∀a∈AA\implies c\leq a\quad\forall a \in A\implies-c\geq-a\quad\forall a \in A Entonces −c-c es cota superior de −A-A Por completitud, −A-A tiene supremo. Sea s=sup(−A)s=sup(-A)
Veamos que −s=inf(A)-s=inf(A) :

  1. −s-s es cota inferior
s≥−a∀a∈A  ⟺  −s≤a∀a∈A  ⟹  −s es cota inferior de As\geq -a\quad \forall a \in A \iff-s\leq a\quad \forall a \in A\implies -s\text{ es cota inferior de }A
  1. Sea cc cota inferior de AA   ⟹  −c\implies-c es cota superior de −A-A   ⟹  −c≥s  ⟹  c≤−s\implies-c\geq s\implies c\leq-s
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