7 - Espacios métricos III

Tue-10-09-2024 09:09 profe: status: tags: Espacios métricos

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$Def.\:1$

$$\begin{array}{l} \text{Dado $A\subseteq E$. $x \in E$ es un punto de adherencia de $A$ si $\forall r>0:B(x,r)\cap A\neq \emptyset$} \end{array}$$

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$Def.\:2$

$$\begin{array}{l} \text{Dado $A\subseteq E$, la clausura de $A$ es: }\\ \overline{A}:\{ x \in E\:|\: \text{ x es un punto de adherencia de A} \} \end{array}$$

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$Def.\:3$

$$\begin{array}{l} \text{$A$ cerrado si $\overline{A}=A$} \end{array}$$

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Ejemplos:

1. $E=\mathbb{I}$

$$A=(a,b), x \in A\implies x \in \overline{A}\quad \text{pues }x \in B(x,r)\cap A \:\forall r>0\\$$

$Si \quad x=a :$

$$\begin{array}{c} a \not\in A \quad B(a,r)\cap(a,b)\neq \emptyset \quad \forall r>0\\ \implies a\text{ es de adherencia y pertenece a la clausura} \\ \implies a \in \overline{A} \end{array}$$

Si $x=b$, es el caso análogo al anterior $\implies b \in \overline{A}$ Si $x<a$, $x$ no es de adherencia pues existe una distancia $\mathcal{E}=a-x>0$ tal que la bola abierta centrada en $x$ y radio $\mathcal{E}$ no interseca con $A$.

$$\begin{array}{c} \implies B\left( x, \frac{\mathcal{E}}{2} \right)\cap A=\emptyset \\ \implies x \text{ no es de adherencia} \\ \implies x=a \not\in \overline{A} \end{array}$$

Si $x>b$, lo mismo $\implies b \not\in \overline{A}$

$$\implies \overline{A}=[a,b]$$

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$$\begin{array}{c} A=[a,b]\quad en\:E=\mathbb{R} \\ \implies A=\overline{A}, A\text{ es cerrado} \end{array}$$

Los intervalos cerrados son cerrados

3. $A=(a,b]$

   • $b \not\in A°,pues\quad B(b,r)\not\subseteq A\:\forall r$ Como $b \in A\implies A$ no es abierto.
   • $a \not\in A\land a\in \overline{A}\implies A\text{ no es cerrado}$

4. $E=(\mathbb{R}^n,d_{2}),r>0$

$$\begin{array}{c} A=\{ y \in E\:|\: d(x,y)<r \}=B(x,r) \\ A\text{ es abierto} \end{array}$$

5. $E=(\mathbb{R}^{n},d_{2}),r>0$

$$\begin{array}{c} A=\{ y \in E\:|\: d(x,y)\leq r\} = \overline{B}(x,r)\\ A\text{ es cerrado} \end{array}$$

6. $E=(C([0,1]),d_{\infty})$

$$\begin{array}{c} A=\{ f \in E\:|\: f(0)<2\} \\ \overline{A}=\{ f \in E\:|\: f(0)\leq 2\} \end{array}$$

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$Prop.\:1$ $A\subseteq E$

1. $A\subseteq \bar{A}$
2. $B\subseteq A\implies \overline{B}\subseteq \overline{A}$
3. $F\subseteq E,F$ cerrado tal que $A\subseteq F\implies \bar{A}\subseteq F$

1. Cualquier conjunto está contenido en su clausura.
2. La clausura de un subconjunto está contenida en la clausura del conjunto.
3. La clausura de un conjunto $A$ está contenida en un conjunto que contenga a $A$.

$Dem:$ 1.

$$\begin{array}{c} x \in A\implies B(x,r)\cap A\neq \emptyset \\ \implies x\in \bar{A} \end{array}$$

2. $x$ es un punto de adherencia de $B$, entonces:

$$\begin{array}{c} x \in \overline{B}\iff B(x,r)\cap B\neq \emptyset \quad \forall r \\ \end{array}$$

Como $B\subseteq A$, cualquier entorno que interseca con $B$, también interseca con $A$.

$$B\subseteq A,B(x,r)\cap A\neq \emptyset \quad \forall r\implies x\in \overline{A}$$

Luego, tengo que:

$$\forall x \in \overline{B}\implies x \in \overline{A}\implies \overline{B}\subseteq \overline{A}$$

$$A\subseteq F\underset{Por \:2}{\implies}\bar{A}\subseteq \bar{F}\underset{F\text{ es cerrado}}{=}F$$

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$Prop.\:2$

$A\subseteq E:$

1. $E\setminus \overline{A}=(E\setminus A)°$

2. $E\setminus A°=\overline{E\setminus A}$

3. El complemento de la clausura es el interior del complemento.

$$(\overline{A})^c=(A^c)°$$

2. El complemento del interior es la clausura del complemento.

$$(A°)^c=\overline{(A^c)}$$

Reformulado, queda:

$$\boxed{ \begin{array}{c} (\bar{A})^c=(A^c)° \\ (A°)^c= \overline{A^c} \end{array} }$$

$Dem:$ 1.

$$\begin{array}{c} x \in E\setminus \overline{A}=(\overline{A})^c\iff x\not\in \overline{A}\iff \:\exists\:r\:|\: B(x,r)\cap A=\emptyset \\ \iff x \in(E\setminus A)° \end{array}$$

Si no interseca con $A$, entonces interseca con su complemento. Más aún, está contenida en el complemento.

$$B(x,r)\subseteq (E\setminus A)=A^c$$

Como existe bola contenida en $A^c$, entonces $x$ es punto interior de $A^c$.

$$\begin{array}{c} x \in(\overline{A})^c \iff x \in (A^c)° \\ \therefore\: (\overline{A})^c=(A^c)° \end{array}$$

2. Dado un $x \not\in A°$, significa que ninguna bola abierta centrada en $x$ está contenida en $A$. Es decir, toda bola tiene intersección no nula con $A^c$.

$$\begin{array}{c} x \in E\setminus A°=(A°)^c \iff x \not\in A°\iff \forall r:B(x,r)\cap E\setminus A\neq \emptyset \iff \forall r:B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset\\ x \in \overline{E\setminus A}= \overline{(A^c)} \end{array}$$

Como $x \in (A°)^c \iff x \in\overline{(A^c)}$

$$(A°)^c = \overline{(A^c)}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Corolario\:1$

$$\text{$A\subseteq E,A$ cerrado $\iff E\setminus A$ es abierto}$$

$Dem:$ $A$ cerrado $\iff A=\bar{A}$ $E\setminus A=E\setminus \bar{A}=(E\setminus A)°\iff E\setminus A$ es abierto

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$Prop.\:3$

$$\begin{array}{l} \text{$\{ A_{i} \}_{i \in I}$ conjuntos , $E \setminus \bigcup_{i \in I} A_{i}=\bigcap_{i \in I} (E\setminus A_{i})$} \end{array}$$

El complemento de la unión es la intersección del los conjuntos.

$Dem:$

$\subseteq)$ Dado un $x$ que no pertenece a la unión, entonces $x$ no pertenece a ningún $A_{i}$. Entonces pertenece al complemento de todo $A_{i}$. Entonces pertenece a la intersección de los complementos de cada $A_{i}$.

$$\begin{array}{c} x \in E \setminus \bigcup A_{i} \\ x \not\in A_{i} \text{ para ningun i}\\ x \in E\setminus A_{i} &\text{Para algún } i \end{array}$$

$\supseteq)$

$$\begin{array}{c} x \in \bigcap(E\setminus A_{i}) \\ x \in E\setminus A_{i}&\text{Para algún } i \\ x \not\in A_{i} \quad \forall i \\ \implies x\not\in \bigcup A_{i}\implies x \in E\setminus \bigcup A_{i} \end{array}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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1. $\{ G_{i} \}$ abiertos $\implies \bigcup G_{i}$ es abierto.
2. $\{ G_{i} \}_{i \in I}$ abiertos, $I$ finito $\implies\bigcap G_{i}$ es abierto

La unión de abiertos es abierto. La intersección finita de abiertos es abierto.

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$Prop.\:4$

1. $\{ F_{i} \}_{i \in I}$ cerrados $\implies\bigcap F_{i}$ es cerrado
2. $\{ F_{i} \}_{i \in I}$ cerrados $I$ finito $\implies\bigcup F_{i}$ es cerrado

La intersección de cerrados es cerrado. La unión finita de cerrados es cerrado.

$Dem:$

Primero demostremos

$$E\setminus \bigcup_{i \in I} A_{i}=\bigcap_{i\in I}(E\setminus A_{i})$$

Del mismo modo

$$E\setminus \bigcap_{i \in I} A_{i}=\bigcup_{i\in I}(E\setminus A_{i})$$

Llamo

$$B_{i}=E\setminus A_{i}\iff E\setminus B_{i}=A_{i}$$ $$\begin{array}{c} \bigcap(E\setminus A_{i})=\bigcap B_{i} \\ E\setminus\bigcap B_{i}=E\setminus\left( E\setminus \bigcup A_{i} \right) \\ =\bigcup A_{i}=\bigcup(E\setminus B_{i}) \end{array}$$

Conclusión:

$$E\setminus \bigcap B_{i}=\bigcup(E\setminus B_{i})$$

Ahora lo uso para demostrar la propiedad: 1.

$$E\setminus\bigcap F_{i}=\bigcup(E\setminus F_{i}) \text{ es abierto}$$

pues $F_{i}$ es cerrado, $E\setminus F_{i}$ es abierto.

$$\implies \bigcap F_{i} \text{ es cerrado}$$

${\color{Yellow} \text{Desde aca R2} }$ 2.

$$E\setminus \left( \bigcup F_{i} \right)=\bigcap(E\setminus F_{i})\implies \bigcup F_{i} \text{ es cerrado}$$

Pues $\bigcup F_{i}$ es cerrado, $E\setminus F_{i}$ es abierto, $\bigcap(E\setminus F_{i})$ es abierto.

$Obs\:1$ Consideremos $F_{n}=\left[ \frac{1}{n},1 \right]$ en $\mathbb{R}$.

$$\bigcup_{i=1}^\infty F_{n}=(0,1]\text{ esto no es cerrado.}$$

pues $\{ F_{n} \}$ no es familia finita.

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$Prop.\:5$

$$\begin{array}{l} \overline{A}=\bigcap_{F\:cerrado:A\subseteq F} F \end{array}$$

La intersección de cerrados que contienen a $A$ es la clausura de $A$

$Dem:$

Sabemos que:

• $A\subseteq \bar{A}\land \bar{A}$ es cerrado.
• Esto implica que $\bar{A}$ es alguno de los $F$ $F$ cerrado, $A\subseteq F\implies \bar{A}\subseteq F$ En principio tendría

$$\bigcap F\supseteq \bar{A}$$

Pero como $\bar{A}$ es alguno de esos $F$:

$$\implies \bigcap F=A$$

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$Corolario\:2$

$$\text{$\bar{A}$ es el menor de los cerrados que contienen a $A$}$$

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$Def.\:4$

$$\begin{array}{l} \text{$A\subseteq E$ se dice denso en $E$ si $\bar{A}=E$} \end{array}$$

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Ejemplos:

1. $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$

$$\forall x \in \mathbb{R}:B(x,r)\cap \mathbb{Q}\neq \emptyset \quad \forall r$$

Esto me sirve pues puedo aproximar irracionales mediante racionales. Pues toda bola centrada en algún irracional, seguro contiene a algún racional

2. $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ en denso en $\mathbb{R}$
3. $\mathbb{Q}^{n}$ es denso en $\mathbb{R}^n$
4. $\mathbb{R}[x]$ son densos en $(C([0,1]),d_{\infty})$. Teorema de Stone-Weierstrass

Cualquier función continua puede ser aproximada por algún polinomio.

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$Prop.\:6$ Son equivalentes:

1. $A$ es denso en $E$
2. $(E\setminus A)°=\emptyset$
3. $(\forall B\subseteq E\text{bola abierta} ):A\cap B\neq \emptyset$
4. $\forall G\subseteq E\text{ abierto:}A\cap G\neq\emptyset$

$Dem:$

$1\to2)$

$$(E\setminus A)°=E\setminus \bar{A}\underset{ \text{pues A es denso}}{=}E\setminus E=\emptyset$$

$4\to1)$

$$\begin{array}{c} x \in E,r>0\:cualquiera \\ G=B(x,r)\cap A\neq \emptyset \\ x \in \bar{A} \\ \bar{A}=E \end{array}$$

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