4- Cardinalidad II

Thu-29-08-2024 09:39 status: tags: Cardinalidad

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$Prop:$

$$\text{$A$ num, $B$ finito} \implies A\cup B\: numerable$$

$Dem:$ Sea $A\cup B=A\cup(B\setminus A),\quad B\setminus A=B'$ Así, s.p.d.g, $A\bigcap B=\emptyset$

$$\begin{array}{l} f:\mathbb{N}\to A&biyectiva \\ g:\underline{n}\to B&biyectiva \end{array}$$

Defino $h:\mathbb{N}\to A\bigcup B$

$$h(k)=\begin{cases} g(k)&1\leq k\leq n \\ f(k-n)&k\geq n \end{cases} \quad \text{$h$ resulta ser biyectiva}$$

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$Prop$:

$$A,B \: \text{numerables}\implies A\times B\text{ numerable}$$

$Dem:$ Basta ver que $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es numerable. Construimos una biyección $f(n,m)=2^{n-1}.(2m-1)$

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$Prop:$

$$\text{$A$ numerable, $B$ numerable} \implies A\bigcup B\text{ numerable}$$

$Dem:$ Sea $A\cup B=A\cup(B\setminus A),\quad B\setminus A=B'$ Así, s.p.d.g, $A\bigcap B=\emptyset$ Tomo $f:\mathbb{N}\to A,g:\mathbb{N}\to B$ es biyectiva. Defino $h:\mathbb{N}\to A\bigcup B$

$$h(n)=\begin{cases} f(n)& n=2k \\ g(n)& n=2k-1 \end{cases}$$

$h$ resulta ser biyectiva.

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$Prop:$

$$\begin{array}{l} \text{Para cada $n\in \mathbb{N}$, sea $A_{n}$ contable.}\\ \text{Entones $A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_{n}$ es contable.} \end{array}$$

Unión contable de contables es contable

$Dem:$ Quiero ver que $\#A\leq\aleph_{0}\iff \exists\:f:A\to \mathbb{N}$ inyección. Basta ver que $\exists\:g:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to A$ sobreyectiva. Sé que $\forall n \in \mathbb{N} \exists\:f_{n}:\mathbb{N}\to A_{n}$ sobreyectiva. Defino $g(n,m)=f_{n}(m)$. $g$ resulta ser sobreyección. Si $a \in A,\exists\:n:a \in A_{n}$ Luego $\exists\:m:a=f_{n}(m)=g(n,m)$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Prop:$

$$\begin{array}{l} \text{$A$ infinito, $C$ contable $\implies A\cup C\sim A$} \end{array}$$

$Dem:$ Suponemos que $A$ y $C$ son disjuntos. s.p.d.g., $A\cap C=\emptyset$ Como $A$ infinito $\exists\:B\subseteq A$ numerable. (Pues $\#\aleph_{0}\leq\#A$) Como $\#B\cup C=\#B,$ pues unión de contables tiene cardinal $\aleph_{0}$ $\exists\:f:B\cup C\to B$ biyección. Defino $h:A\bigcup C\to A$

$$h(x)=\begin{cases} f(x)&x \in B\cup C \\ x&x \in A\setminus B \end{cases}$$

$h$ resulta ser biyección.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Lema:$

$$\begin{array}{l} \text{$\mathbb{R}\sim(0,1)$} \end{array}$$

$Dem:$

$$\begin{array}{l} \mathbb{R}\sim(-1,1)&\sim(0,1) \\ x \mapsto \frac{x}{1+|x|} \\ &y \mapsto \frac{y+1}{2} \end{array}$$

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$Teorema:$

$$\text{$\mathbb{R}$ no es numerable}$$

$Dem:$ Por absurdo, basta ver que $(0,1)$ no es numerable. Suponiendo que existe biyección entre $\mathbb{R}$ y $(0,1)$.

$(0,1)=\{ a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$ Tenemos que buscar un número $\in(0,1)$ tal que no le corresponde ningún $a_{i}$ Escribamos:

$$a_{i}=0,a_{i1},a_{i2},a_{i3}\dots$$

El desarrollo es así pues $a_{i} \in(0,1)\implies0<a_{i}<1,a_{i}$ es un número decimal entre $0$ y $1$ Este es un desarrollo decimal de $a_{i},$ con $a_{ij} \in \{ 0,\dots,9 \}$ no todos simultáneamente $9$, pues $0,999999\dots=1$, con $j\gg0$

$$\begin{array}{l} a_{1}=0,a_{11},a_{12},a_{13}\dots \\ a_{2}=0,a_{21},a_{22},a_{23}\dots \\ a_{3}=0,a_{31},a_{32},a_{33}\dots \end{array}$$

Defino $a=0,b_{1}b_{2}b_{3}\dots, \:\quad con\: b_{j}\in \{ 1,\dots,8\} \setminus \{ a_{jj} \}$ Elijo uno cualquiera. Así $a\in(0,1),\text{ y además } b\neq a_{i}\:\forall i \in \mathbb{N}$ pues $b_{j}\neq a_{jj}$ Como hemos supuesto que que $(0,1)$ es numerable. Entonces existe biyección $f:\mathbb{N}\to(0,1)\:|\: \exists\:i\in \mathbb{N}:f(i)=a_{i}\in(0,1)$ Y como $b\neq a_{i}\:\forall i$, entonces no existe tal $i$. Llegamos a una contradicción. Por lo tanto $(0,1)$ no es numerable. Se sigue entonces que $\mathbb{R}$ no es numerable.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Hipótesis del continuo

$$\begin{array}{l} \text{Si $\aleph_{0} \leq \#A\leq c=\#\mathbb{R}$} \\ \text{Entonces $\#A=\aleph_{0}$ ó $\#A=c$} \end{array}$$

No vale usar esta hipótesis para los ejercicios

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$$\text{Recordar: $P(X)=\{ A:A\subseteq X \}$}$$

$Obs:$ $\#X\leq\#P(X)$, pues tenemos $f:X\to P(X)$

$$f(x)=\{ x \}, iny.$$

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$Teorema: \: Cantor$

$$\#X<\#P(X)$$

$Dem:$ Por absurdo. Por el contrario, supongamos que $\exists \:g:X\to P(X)$ sobreyectiva.

Pues $\#X\geq\#P(X)$

Definimos:

$$A=\{ x \in X: x \not\in g(x) \} \in P(X)$$

Pues $A$ resulta ser subconjunto de $P(X)$, también notar que $g(x)$ devuelve un conjunto, por eso puede pasar que $x\not\in g(x)$

Luego $\exists a\in X$ con $A=g(a)$. Porque $g$ es sobreyectiva, por lo tanto todo subconjunto tiene preimagen. Así, $a\in A\iff a\not\in g(a)=A$.

$$a\in A\iff a\not\in A$$

Claramente un absurdo.

$$\boxed{ \begin{array}{c} \text{Usamos esta propiedad:}\\ \text{$\#A\leq\#B\iff \exists g:B\to A$ sobreyectiva} \end{array} }$$

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$Obs:$

$$\begin{array}{c} P(\mathbb{N})\sim \mathbb{R} \\ \text{Luego $\mathbb{R}$ no es numerable} \end{array}$$

$Dem:$

$$\begin{array}{c} \#\mathbb{N}=\aleph_{0}<P(\mathbb{N})\sim \mathbb{R} \\ \aleph_{0}<\mathbb{R} \end{array}$$

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$Prop:$

$$P(X)\sim \{ 0,1 \}^{X}$$

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$Corolario:$

$$\#\mathbb{R}^{\mathbb{R}}>c$$

$Dem:$

$$c=\#\mathbb{R}\underset{\text{Por cantor}}{<}\#P(\mathbb{R})=\#\{ 0,1 \}^{\mathbb{R}}\underset{\text{pues $\{ 0,1 \}\subseteq \mathbb{R}$}}{\leq}\#\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Prop: \text{Ley exponencial}$

$$\begin{array}{l} A^{B\times C}\sim(A^B)^{C} \quad \forall A,B,C\text{ conjuntos} \end{array}$$

$Dem:$ Defino:

$$\Phi:A^{B\times C}\to(A^{B})^{C}$$ $$\Phi (f)\in (A^{B})^{C}$$ $$\Phi (f)(c)\in A^{B}$$ $$\begin{array}{l} \implies\Phi(f)(c)(b)=f(b,c) \\ Pues \quad f\in A^{B\times C} \end{array}$$

Entonces $\Phi$ es biy, más aún,:

$$\phi:(A^{B})^{C}\to A^{B\times C}$$ $$\begin{array}{l} \phi(g)(b,c)=g(c)(b)\quad \text{es su inversa} \\ pues \quad g(c)\in A^{B} \end{array}$$

Queda como ejercicio que componer $\phi$ y $\Phi$ da la identidad.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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$Corolario:$

$$\#\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}=c$$

$Demo:$

$$\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}\sim P(\mathbb{N})^{\mathbb{Q}}\sim(\{ 0,1 \}^{\mathbb{N}})^{\mathbb{Q}}\underset{\text{x Ley}}{\sim}\{ 0,1 \}^{\mathbb{N}\times \mathbb{Q}}\sim \{ 0,1 \}^{\mathbb{N}}\sim P(\mathbb{N})\sim \mathbb{R}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Citas y Comentarios

Agregar o quitar cosas finitas a conjuntos infinitos, no hace gran diferencia. El cardinal del conjunto de las funciones continuas es igual c.. La próxima veremos "espacios métricos", tema más importante de la materia. Se recomendaron los libros:

• Lages Lima, 1.1, 1.2, 1.3, 3.1