2- Sucesiones

${\color{Orange} \text{Prop. :} }$

$$\begin{array}{l} \text{Sea $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ sucesión convergente a $l \in \mathbb{R}$. }\\ \text{Entonces toda subsucesión $(a_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ también converge a $l$.} \end{array}$$

${\color{Orange} \text{Dem:} }$ Dado $\mathcal{E}>0$, y $(a_{n})$ sucesión convergente a $l \in \mathbb{R}$. Entonces $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\:|a_{n}-l|<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0}$

Por otro lado, tengo que $\forall n\geq n_{0}$ la sucesión de índices de alguna subsucesión $(n_{k})_{k\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{N}$ es estrictamente creciente.

Luego, $\:\exists\:k_{0}\in \mathbb{N}$ con $n_{k_{0}}\geq n_{0}$ Y como

$$n_{k}\geq n_{k_{0}}\geq n_{0}\quad \forall k\geq k_{0}$$

Se tiene que

$$|a_{n_{k}}-l|<\mathcal{E}\quad \forall k\geq k_{0}$$

Entonces la subsucesión $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb{N}}$ converge a $l.$