Thu-24-10-2024 09:00
profe: Nicolás Sirolli
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tags: Espacios Normados
Espacios normados \text{Espacios normados} Espacios normados Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
E en R − e v . Una norma en E es ∥ ∥ : E → R ≥ 0 con: 1. ∥ v ∥ = 0 ⟺ v = 0 ∀ v ∈ E 2. ∥ λ . v ∥ = ∣ λ ∣ . ∥ v ∥ ∀ λ ∈ R , v ∈ E 3. ∥ v + w ∥ ≤ ∥ v ∥ + ∥ w ∥ ∀ v , w ∈ E \begin{array}{l}
\text{$E$ en $\mathbb{R}-ev$. Una norma en $E$ es $\left\| \right\|:E\to \mathbb{R}_{\geq0}$ con:}\\
\text{1. $\left\| v \right\|=0\iff v=0 \quad\forall v\in E$}\\
\text{2. $\left\| \lambda.v \right\|=|\lambda|.\left\| v \right\|\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},v\in E$}\\
\text{3. $\left\| v+w \right\|\leq \left\| v \right\|+\left\| w \right\|\quad\forall v,w\in E$}
\end{array} E en R − e v . Una norma en E es ∥ ∥ : E → R ≥ 0 con: 1. ∥ v ∥ = 0 ⟺ v = 0 ∀ v ∈ E 2. ∥ λ . v ∥ = ∣ λ ∣. ∥ v ∥ ∀ λ ∈ R , v ∈ E 3. ∥ v + w ∥ ≤ ∥ v ∥ + ∥ w ∥ ∀ v , w ∈ E E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os :
En R n \mathbb{R}^{n} R n
∥ x ∥ 2 = ∑ i x i 2 \left\| x \right\|_2=\sqrt{ \sum_{i}x_{i}^{2} } ∥ x ∥ 2 = ∑ i x i 2 ∥ x ∥ n = ( ∑ i x i n ) 1 / n \left\| x \right\|_{n}=\left( \sum_{i}x_{i}^{n} \right)^{1/n} ∥ x ∥ n = ( ∑ i x i n ) 1/ n ∥ x ∥ ∞ = m a x i { x i } \left\| x \right\|_\infty=max_{i}\{ x_{i} \} ∥ x ∥ ∞ = ma x i { x i }
Veamos que ∥ x ∥ 2 \left\| x \right\|_2 ∥ x ∥ 2 i ) i) i )
( ∑ i x 2 ) 1 / 2 = 0 ⟺ x i 2 = 0 ∀ i ⟺ x i = 0 ∀ i \left( \sum_{i}x^{2} \right)^{1/2}=0\iff x_{i}^{2}=0\quad\forall i\iff x_{i}=0\quad\forall i ( i ∑ x 2 ) 1/2 = 0 ⟺ x i 2 = 0 ∀ i ⟺ x i = 0 ∀ i i i ) ii) ii )
( ∑ i ( λ x i ) 2 ) 1 / 2 = ( λ 2 ∑ i x i 2 ) 1 / 2 = ∣ λ ∣ ( ∑ x i 2 ) 1 2 = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ 2 \left( \sum_{i}(\lambda x_{i})^{2} \right)^{1/2}=\left( \lambda^{2}\sum_{i}x_{i}^{2} \right)^{1/2}=|\lambda|\left( \sum x_{i}^{2} \right)^{\frac{1}{2}}=|\lambda |\left\| x \right\|_2 ( i ∑ ( λ x i ) 2 ) 1/2 = ( λ 2 i ∑ x i 2 ) 1/2 = ∣ λ ∣ ( ∑ x i 2 ) 2 1 = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ 2 i i i ) iii) iii )
∥ x + y ∥ 2 2 = ∥ x ∥ 2 2 + ∥ y ∥ 2 2 + 2 ∑ x i y i \left\| x+y \right\|_2^{2}=\left\| x \right\|_2^{2}+\left\| y \right\|_2^{2}+2\sum x_{i}y_{i} ∥ x + y ∥ 2 2 = ∥ x ∥ 2 2 + ∥ y ∥ 2 2 + 2 ∑ x i y i Vale que
∣ ∑ ∣ x i ∣ ∣ y i ∣ ∣ ≤ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 \left|\sum |x_{i}||y_{i}| \right|\leq \left\| x \right\|_2 \left\| y \right\|_2 ∑ ∣ x i ∣∣ y i ∣ ≤ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2
En C ( [ a , b ] ) : C([a,b]): C ([ a , b ]) :
∥ f ∥ 1 = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x \left\| f \right\|_{1} =\int_{a}^{b}|f(x)|\:dx ∥ f ∥ 1 = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ∥ f ∥ ∞ = m a x a ≤ x ≤ b ∣ f ( x ) ∣ \left\| f \right\|_\infty=\underset{a\leq x\leq b}{max}|f(x)| ∥ f ∥ ∞ = a ≤ x ≤ b ma x ∣ f ( x ) ∣ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sea ( E , ∥ ∥ ) un espacio normado. Entonces d : E × E → R ≥ 0 ∣ d ( v , w ) = ∥ v − w ∥ es una distancia. \begin{array}{l}
\text{Sea $(E,\left\| \right\|)$ un espacio normado. }\\
\text{Entonces $d:E\times E\to \mathbb{R}_{\geq0}\:|\:d(v,w)=\left\| v-w \right\|$ es una distancia.}
\end{array} Sea ( E , ∥ ∥ ) un espacio normado. Entonces d : E × E → R ≥ 0 ∣ d ( v , w ) = ∥ v − w ∥ es una distancia. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
d ( v , w ) = ∥ v − w ∥ = ∥ ( v − z ) + ( z − w ) ∥ ≤ ∥ v − z ∥ + ∥ z − w ∥ = d ( v , z ) + d ( z , w ) ∀ z , v , w ∈ E d(v,w)=\left\| v-w \right\| =\left\| (v-z)+(z-w) \right\| \leq \left\| v-z \right\| +\left\| z-w \right\| =d(v,z)+d(z,w)\quad \forall z,v,w\in E d ( v , w ) = ∥ v − w ∥ = ∥ ( v − z ) + ( z − w ) ∥ ≤ ∥ v − z ∥ + ∥ z − w ∥ = d ( v , z ) + d ( z , w ) ∀ z , v , w ∈ E O b s : Obs: O b s : E ≠ ∅ , ∥ . ∥ E\neq \emptyset,\left\| . \right\| E = ∅ , ∥ . ∥ d ( v , 0 ) = ∥ v ∥ d(v,0)=\left\| v \right\| d ( v , 0 ) = ∥ v ∥ { d ( v , 0 ) : v ∈ E } = R ≥ 0 \{ d(v,0):v\in E \}=\mathbb{R}_{\geq0} { d ( v , 0 ) : v ∈ E } = R ≥ 0 δ \delta δ
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sea E normado. 1. T v : E → E ∣ T v ( w ) = v + w es continua. 2. μ λ : E → E ∣ μ λ ( v ) = λ . v es continua ∀ λ ∈ R . M a ˊ s a u ˊ n, son homeomorfismos ( λ ≠ 0 ) \begin{array}{l}
\text{Sea $E$ normado. }\\
\text{1. $T_{v}:E\to E\:|\:T_{v}(w)=v+w$ es continua.}\\
\text{2. $\mu_{\lambda}:E\to E\:|\:\mu_{\lambda}(v)=\lambda.v$ es continua $\forall\lambda \in \mathbb{R}$. Más aún, son homeomorfismos $(\lambda\neq0)$ }\\
\end{array} Sea E normado. 1. T v : E → E ∣ T v ( w ) = v + w es continua. 2. μ λ : E → E ∣ μ λ ( v ) = λ . v es continua ∀ λ ∈ R . M a ˊ s a u ˊ n, son homeomorfismos ( λ = 0 ) ( T v ) − 1 = T − v ( μ λ ) − 1 = μ λ − 1 (T_{v})^{-1}=T_{-v}\quad (\mu_{\lambda})^{-1}=\mu_{\lambda ^{-1}} ( T v ) − 1 = T − v ( μ λ ) − 1 = μ λ − 1 Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
∥ T v ( w ) − T v ( z ) ∥ = ∥ ( w + v ) − ( z + v ) ∥ = ∥ w − z ∥ T w es isometr ı ˊ a \left\| T_v( w ) -T_v( z ) \right\|=\left\| (w+v)-(z+v) \right\| =\left\| w-z \right\| \quad T_{w}\text{ es isometría } ∥ T v ( w ) − T v ( z ) ∥ = ∥ ( w + v ) − ( z + v ) ∥ = ∥ w − z ∥ T w es isometr ı ˊ a 2 ) 2) 2 )
∥ μ λ ( v ) − μ λ ( w ) ∥ = ∣ λ ∣ ∥ v − w ∥ queda Lipschitz \left\| \mu_{\lambda}(v)-\mu_{\lambda}(w) \right\|=|\lambda|\left\| v-w \right\| \quad \text{ queda Lipschitz} ∥ μ λ ( v ) − μ λ ( w ) ∥ = ∣ λ ∣ ∥ v − w ∥ queda Lipschitz O b s : Obs: O b s : ∀ v ∈ E , v > 0 : \forall v\in E,v>0: ∀ v ∈ E , v > 0 :
B r ( v ) = { w ∈ E : ∥ v − w ∥ < r } = v + { z ∈ E : ∥ z ∥ < r } ⏟ B r ( 0 ) = v + r { y ∈ E : ∥ y ∥ < 1 } ⏟ B 1 ( 0 ) = T v ( μ r ( B 1 ( 0 ) ) ) B_{r}(v)=\{ w\in E:\left\| v-w \right\| <r \}=v+\underbrace{\{ z\in E:\left\| z \right\| <r \}}_{B_{r}(0)}=v+r\underbrace{\{ y\in E:\left\| y \right\| <1 \} }_{B_{1}(0)}=T_{v}(\mu_{r}(B_{1}(0))) B r ( v ) = { w ∈ E : ∥ v − w ∥ < r } = v + B r ( 0 ) { z ∈ E : ∥ z ∥ < r } = v + r B 1 ( 0 ) { y ∈ E : ∥ y ∥ < 1 } = T v ( μ r ( B 1 ( 0 ))) ∴ Todas las bolas son homeomorfas. \therefore\: \text{Todas las bolas son homeomorfas.} ∴ Todas las bolas son homeomorfas. Operadores
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sean ( E , ∥ ∥ E ) , ( F , ∥ ∥ F ) espacios normados. Una transformaci o ˊ n lineal T : E → F (u operador) es acotado si: ( ∃ μ ≥ 0 ) ∥ T v ∥ F ≤ μ ∥ v ∥ E ∀ v ∈ E \begin{array}{l}
\text{Sean $(E,\left\| \right\|_{E}),(F,\left\| \right\|_{F})$ espacios normados.}\\
\text{ Una transformación lineal $T:E\to F$ (u operador) es acotado si:}\\
(\:\exists\:\mu\geq0)\quad \left\| T_{v} \right\|_{F}\leq \mu \left\| v \right\|_{E}\quad \forall v\in E
\end{array} Sean ( E , ∥ ∥ E ) , ( F , ∥ ∥ F ) espacios normados. Una transformaci o ˊ n lineal T : E → F (u operador) es acotado si: ( ∃ μ ≥ 0 ) ∥ T v ∥ F ≤ μ ∥ v ∥ E ∀ v ∈ E E j e m p l o Ejemplo E j e m pl o Fijo f ∈ C ( [ 0 , 1 ] ) ⏟ E , T f : E → E ∣ T f ( g ) = f . g f\in \underbrace{C([0,1])}_{E},T_{f}:E\to E\:|\:T_{f}(g)=f.g f ∈ E C ([ 0 , 1 ]) , T f : E → E ∣ T f ( g ) = f . g E E E ∥ ∥ ∞ \left\| \right\|_\infty ∥ ∥ ∞
∣ T f ( g ) ( x ) ∣ = ∣ f ( x ) ∣ ⏟ ≤ ∥ f ∥ ∞ . ∣ g ( x ) ∣ ⏟ ∥ g ∥ ∞ ∀ x ∴ ∥ T f ( g ) ∥ ∞ ≤ ∥ f ∥ ∞ ⏟ μ . ∥ g ∥ ∞ μ tiene ser una que sirva para todas las g \begin{array}{c}
|T_{f}(g)(x)|=\underbrace{|f(x)|}_{\leq \left\| f \right\|_\infty } .\underbrace{|g(x)|}_{\left\| g \right\|_\infty } \quad \forall x \\
\therefore\: \left\| T_{f}(g) \right\|_\infty \leq \underbrace{\left\| f \right\|_\infty}_{\mu} .\left\| g \right\|_\infty \\
\mu \text{ tiene ser una que sirva para todas las }g
\end{array} ∣ T f ( g ) ( x ) ∣ = ≤ ∥ f ∥ ∞ ∣ f ( x ) ∣ . ∥ g ∥ ∞ ∣ g ( x ) ∣ ∀ x ∴ ∥ T f ( g ) ∥ ∞ ≤ μ ∥ f ∥ ∞ . ∥ g ∥ ∞ μ tiene ser una que sirva para todas las g O b s : Obs: O b s : v ≠ 0 , ∥ T v ∥ F ≤ μ . ∥ v ∥ E ⟺ ∥ T ( v ∥ v ∥ E ) ∥ ≤ μ v\neq0,\left\| Tv \right\|_{F}\leq \mu.\left\| v \right\|_{E}\iff \left\| T\left( \frac{v}{\left\| v \right\|_{E}} \right) \right\|\leq \mu v = 0 , ∥ T v ∥ F ≤ μ . ∥ v ∥ E ⟺ T ( ∥ v ∥ E v ) ≤ μ
T T T λ ∥ w ∥ F = ∥ λ v ∥ F , λ ≥ 0 \lambda \left\| w \right\|_{F}=\left\| \lambda v \right\|_{F},\lambda\geq0 λ ∥ w ∥ F = ∥ λ v ∥ F , λ ≥ 0
∴ T es acotada ⟺ { ∥ T y ∥ F : ∥ y ∥ E = 1 } ⊆ R est a ˊ acotado \therefore\: \text{T es acotada}\iff \{ \left\| Ty\right\| _{F}:\left\| y \right\| _{E}=1 \} \subseteq\mathbb{R} \text{ está acotado} ∴ T es acotada ⟺ { ∥ T y ∥ F : ∥ y ∥ E = 1 } ⊆ R est a ˊ acotado Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
T es acotado ⟺ T es continua (uniformemente). \begin{array}{l}
\text{$T$ es acotado $\iff T$ es continua (uniformemente).}
\end{array} T es acotado ⟺ T es continua (uniformemente). Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ⇒ ) \Rightarrow) ⇒ ) μ \mu μ
∥ T x − T y ∥ F = ∥ T ( x − y ) ∥ F ≤ μ ∥ x − y ∥ E ∴ T es Lipschitz \begin{array}{c}
\left\| Tx-Ty \right\| _{F}=\left\| T(x-y) \right\| _{F}\leq \mu \left\| x-y \right\| _{E} \\
\therefore\: T \text{ es Lipschitz}
\end{array} ∥ T x − T y ∥ F = ∥ T ( x − y ) ∥ F ≤ μ ∥ x − y ∥ E ∴ T es Lipschitz ⇐ ) \Leftarrow) ⇐ ) T T T E = 1 \mathcal{E}=1 E = 1 δ > 0 \delta>0 δ > 0
∥ y ∥ ⏟ d ( y , 0 ) < δ ⟹ ∥ T y ∥ ⏟ d ( T y , T 0 ) < 1 \underbrace{\left\| y \right\|}_{d(y,0)} <\delta \implies \underbrace{ \left\| Ty \right\| }_{d(Ty,T_{0})}<1 d ( y , 0 ) ∥ y ∥ < δ ⟹ d ( T y , T 0 ) ∥ T y ∥ < 1 Así, si x ≠ 0 : x\neq0: x = 0 :
∥ T x ∥ = ∥ T ( δ . x 2. ∥ x ∥ ) ∥ ∥ x ∥ . 2 δ ≤ ∥ y ∥ < δ 2 y ⏟ μ ∥ x ∥ \left\| Tx \right\| =\left\| T\left( \frac{\delta .x}{2.\left\| x \right\| } \right) \right\|\left\| x \right\| .\frac{2}{\delta} \underset{\left\| y \right\| <\delta}{\leq }\underbrace{\frac{2}{y}}_{\mu} \left\| x \right\| ∥ T x ∥ = T ( 2. ∥ x ∥ δ . x ) ∥ x ∥ . δ 2 ∥ y ∥ < δ ≤ μ y 2 ∥ x ∥ □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
T acotada, la norma de T es ∥ T ∥ = i n f { μ > 0 : ∥ T v ∥ ≤ μ . ∥ v ∥ ∀ v } \begin{array}{l}
\text{$T$ acotada, la norma de $T$ es $\left\| T \right\|=inf\{ \mu>0:\left\| T v \right\|\leq \mu.\left\| v \right\|\quad\forall v \}$}
\end{array} T acotada, la norma de T es ∥ T ∥ = in f { μ > 0 : ∥ T v ∥ ≤ μ . ∥ v ∥ ∀ v } E j e m p l o Ejemplo E j e m pl o ∥ T f ∥ ≤ ∥ f ∥ ∞ vale el = \left\| T_{f} \right\| \leq \left\| f \right\|_\infty \quad \text{vale el =} ∥ T f ∥ ≤ ∥ f ∥ ∞ vale el = Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
T : E → F operador. S = K e r ( T ) = { v : T v = 0 } : 1. T acotado ⟹ S cerrado. 2. Si F = R , S cerrado ⟹ T acotado. \begin{array}{l}
\text{$T:E\to F$ operador. $S=Ker(T)=\{ v: Tv=0 \}$:}\\
\text{1. $T$ acotado $\implies S$ cerrado.}\\
\text{2. Si $F=\mathbb{R},S$ cerrado $\implies T$ acotado. }
\end{array} T : E → F operador. S = K er ( T ) = { v : T v = 0 } : 1. T acotado ⟹ S cerrado. 2. Si F = R , S cerrado ⟹ T acotado. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: 1. ) 1.) 1. )
S = T − 1 ( { 0 } ⏟ cerrado en F ) S=T^{-1}(\underbrace{\{ 0 \}}_{\text{cerrado en F}}) S = T − 1 ( cerrado en F { 0 } ) T T T
2. ) 2.) 2. ) T ≡ 0 , T\equiv 0, T ≡ 0 , T ≢ 0 T\not\equiv 0 T ≡ 0 S S S v ∈ E v\in E v ∈ E T v = − 1 T v=-1 T v = − 1 − 1 ∈ I m ( T ) -1\in \mathrm{Im}(T) − 1 ∈ Im ( T ) w ∈ E w\in E w ∈ E w ∉ S w\not\in S w ∈ S w = w + ( T w ) v ⏟ ∈ S − ( T w ) v = T w ( w T w + v ) ⏟ z ∈ S − ( T w ) v = ( T w ) ( z − v ) w=\underbrace{w+(Tw)v}_{\in S}-(Tw)v=Tw\underbrace{\left( \frac{w}{Tw}+v \right)}_{z\in S}-(Tw)v=(Tw)(z-v) w = ∈ S w + ( T w ) v − ( T w ) v = T w z ∈ S ( T w w + v ) − ( T w ) v = ( T w ) ( z − v ) w = ( T w ) . ( z − v ) w=(Tw).(z-v) w = ( T w ) . ( z − v )
∴ ∥ w ∥ = ∣ T w ∣ . ∥ z − v ∥ ≥ d ( v , S ) . ∣ T w ∣ Vale si w ∈ S tambi e ˊ n. \therefore\: \left\| w \right\| =|Tw|.\left\| z-v \right\| \geq d(v,S).|Tw|\quad \text{Vale si }w\in S\text{ también.} ∴ ∥ w ∥ = ∣ T w ∣. ∥ z − v ∥ ≥ d ( v , S ) .∣ T w ∣ Vale si w ∈ S tambi e ˊ n. Así, ∣ T w ∣ ≤ 1 d ( v , S ) ∥ w ∥ |Tw|\leq \frac{1}{d(v,S)}\left\| w \right\| ∣ T w ∣ ≤ d ( v , S ) 1 ∥ w ∥ d ( v , S ) ≠ 0 , p u e s v ∉ S , S c e r r a d o d(v,S)\neq0,pues\:v\not\in S,S\:cerrado d ( v , S ) = 0 , p u es v ∈ S , S cer r a d o
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Citas y Comentarios