#10Espacios métricos

10 - Espacios métricos VI - Continuidad I

23 min de lectura

Tue-24-09-2024 09:18 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Espacios métricos Continuidad

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

(an)⊆E es acotada si {an}⊆E es acotado.\begin{array}{l} \text{$(a_{n})\subseteq E$ es acotada si $\{ a_{n} \}\subseteq E$ es acotado.} \end{array}

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

Cauchy   ⟹   acotada.\text{Cauchy $\implies$ acotada.}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

 ∃ n0d(an,am)<1∀n,m≥n0\begin{array}{c} \:\exists\:n_{0}\quad d(a_{n},a_{m})<1\quad \forall n,m\geq n_{0} \end{array}

Así, am∈B(an0,1)∀m≥n0a_{m} \in B(a_{n_{0}},1)\quad\forall m\geq n_{0} Así, si r>max{1,d(an,an0),…,d(an0−1,an0)}r>max\{ 1,d(a_{n},a_{n_{0}}),\dots,d(a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}) \} Se tiene que an∈B(an0,r)∀n∈Na_{n}\in B(a_{n_{0}},r)\quad\forall n \in \mathbb{N}

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} }

Sea (an)⊆E de Cauchy. Si ( ∃ l)( ∃ (ank)) con ank→l entonces an→l\begin{array}{l} \text{Sea $(a_{n})\subseteq E$ de Cauchy. }\\ \text{Si $(\:\exists\:l)(\:\exists\:(a_{n_{k}}))$ con $a_{n_{k}}\to l$ entonces $a_{n}\to l$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Sea E\mathcal{E}>0

  • Tengo n0 ∣ d(an,am)<E/2∀n.m≥n0n_{0}\:|\:d(a_{n},a_{m})< \mathcal{E}/2 \quad\forall n.m\geq n_{0}
  • Tengo k0 ∣ d(ak,l)<E/2∀k≥k0k_{0}\:|\:d(a_{k},l)< \mathcal{E}/2 \quad\forall k\geq k_{0} Así, d(anml)<d(an,ank)+d(ank,l)<Esi n≥n0d(a_{n}ml)<d(a_{n},a_{n_{k}})+d(a_{n_{k}},l)<\mathcal{E}\quad si\:n\geq n_{0} Eligiendo k ∣ k\:|\:
  • nk≥n0n_{k}\geq n_{0}
  • k≥k0k\geq k_{0}
□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

E es completo si toda sucesioˊn de Cauchy en E converge.\begin{array}{l} \text{$E$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $E$ converge.} \end{array}
(R,d2) es completo.\begin{array}{l} \text{$(\mathbb{R},d_{2})$ es completo.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} }

Quiero ver que toda sucesion de Cauchy converge

Sea (an)(a_{n}) sucesion de Cauchy. Vimos que es acotada. Veremos que tiene una subsucesión que converge, y converge al mismo límite. Por propiedad.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square
Ejemplos:Ejemplos:

Completos:

(R,d2)(\mathbb{R},d_{2}) (C([a,b]),d∞)(C([a,b]),d_{\infty}) (E,δ)(E,\delta)

No completos:

(Q,d2),(C([a,b]),d1)(\mathbb{Q},d_{2}),(C([a,b]),d_{1})

Continuidad

(L.L,2.1,2.2,3.2)

Recordar:

f:R→R es continua en x0∈R si (∀E>0)( ∃ δ>0) ∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<E\begin{array}{c} \text{$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_{0} \in \mathbb{R}\: si\:$}\\ (\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)\:|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\mathcal{E} \end{array} d(x,x0)<δ  ⟹  d(f(x),f(x0))<Ed(x,x_{0})<\delta \implies d(f(x),f(x_{0}))<\mathcal{E}

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Sean (E,δ),(E′,δ′) espacios meˊtricos.Sea f:E→E′\begin{array}{l} \text{Sean $(E,\delta),(E',\delta')$ espacios métricos.} \\ \text{Sea $f:E\to E'$} \end{array}
  • Dado x0∈Ex_{0} \in E es continua en x0x_{0} si:
∀E>0( ∃ δ>0)∀x∈E:d(x,x0)<δ  ⟹  d′(f(x),f(x0))<E\forall\mathcal{E}>0(\:\exists\:\delta>0)\forall x \in E:d(x,x_{0})<\delta \implies d'(f(x),f(x_{0}))<\mathcal{E}
  • ff es continua si lo es en todo x0∈Ex_{0} \in E
Ejemplos:Ejemplos:
  1. f:R→R,f(x)=x2f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^{2} Sea E>0\mathcal{E}>{0}
d(f(x),f(x0))=∣x2−x02∣=∣x−x0∣.∣x+x0∣d(f(x),f(x_{0}))=|x^{2}-x_{0}^{2}|=|x-x_{0}|.|x+x_{0}|

Acá si no especifico, significa que estoy en la métrica usual. Cuando hablo de continuidad hay que tener en cuenta también la métrica.

-->21.37

  • Supongo ∣x−x0∣≤1|x-x_{0}|\leq1 Así, ∣x+x0∣=∣(x−x0)+2x0∣≤∣x−x0∣+2∣x0∣≤1+2∣x0∣|x+x_{0}|=|(x-x_{0})+2x_{0}|\leq |x-x_{0}|+2|x_{0}|\leq1+2|x_{0}| (1)(1)

Dado E>0,\mathcal{E}>0, tomo δ=min{E1+2∣x0∣,1}\delta=min\left\{ \frac{\mathcal{E}}{1+2|x_{0}|},1 \right\} sirve. c

  • Si ∣x−x0∣<δ:|x-x_{0}|<\delta:

Se cumple (1)(1) y lo puedo usar.

Como ∣x−x0∣≤1:∣x+x0∣≤1+2∣x0∣|x-x_{0}|\leq1:\quad|x+x_{0}|\leq1+2|x_{0}| Así, ∣x2−x02∣=∣x−x0∣.∣x+x0∣<δ(1+2∣x0∣)≤E|x^{2}-x_{0}^{2}|=|x-x_{0}|.|x+x_{0}|<\delta(1+2|x_{0}|)\leq\mathcal{E}

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square
f:C([0,1],d∞)→(R,d2) ∣ f(Φ)=Φ(12) es continuaf:C([0,1],d_{\infty})\to(\mathbb{R},d_{2})\:|\: f(\Phi)=\Phi\left( \frac{1}{2} \right) \text{ es continua}

--> 28.16

Sea Φ0∈E\Phi_{0}\in E. Sea E>0\mathcal{E}>0

∣f(Φ)−f(Φ0)∣=∣Φ(12)−Φ0(12)∣≤max0≤x≤1∣Φ(x)−Φ0(x)∣=d∞(Φ,Φ0)|f(\Phi)-f(\Phi_{0})|=\left|\Phi\left( \frac{1}{2}\right)-\Phi_{0}\left( \frac{1}{2} \right) \right|\leq max_{0\leq x\leq 1}|\Phi(x)-\Phi_{0}(x)|=d_{\infty}(\Phi,\Phi_{0})

Tomo δ=E,\delta=\mathcal{E}, Si d∞(Φ,Φ0)<δ  ⟹  d2(f(Φ),f(Φ0))<Ed_{\infty}(\Phi,\Phi_{0})<\delta \implies d_{2}(f(\Phi),f(\Phi_{0}))<\mathcal{E}

Es continua cambiando d∞d_{\infty} por d1d_{1}?

  1. Supongo (E,d)(E,d) es discreto. Entonces toda f:(E,d)→(E′,d′)f:(E,d)\to(E',d') es continua. Pues:
(∀x0∈E)( ∃ δ>0)d(x,x0)<δ  ⟹  x=x0(\forall x_{0} \in E)(\:\exists\:\delta>0)\quad d(x,x_{0})<\delta \implies x=x_{0}
  1. (Pensar) Si (E′,d′)(E',d') es discreto, ¿Cuáles son las f:(E,d)→(E′,d′)f:(E,d)\to(E',d') continuas?

Lo que sucede es que como el espacio de llegada es discreto va a implicar que los elementos van a ser iguales.

Definiciones con bolas abiertas

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} }

f:(E,d)→(E′,d′) es continua en x0  ⟺  (∀E>0)( ∃ δ>0)∀x∈E  x∈B(x0,δ)  ⟹  f(x)∈B(f(x0),E)\begin{array}{l} \text{$f:(E,d)\to(E',d')$ es continua en $x_{0}\iff(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta>0)$}\\ \forall x \in E\:\ x \in B(x_{0},\delta)\implies f(x) \in B(f(x_{0}),\mathcal{E}) \end{array}

Es decir, sii

f(B(x0,δ))⊆B(f(x0),E)f(B(x_{0},\delta))\subseteq B(f(x_{0}),\mathcal{E})

Es decir, sii (f(A)⊆B  ⟺  A⊆f−1(B)f(A)\subseteq B\iff A\subseteq f^{-1}(B))

B(x0,δ)⊆f−1(B(f(x0),E))B(x_{0},\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(x_{0}),\mathcal{E}))

La continuidad se puede caracterización en términos de bolas. Notar que siempre x0∈f−1(B(f(x0),E)x_{0} \in f^{-1}(B(f(x_{0}),\mathcal{E}) Y que la preimagen de un abierto es un abierto.

Prop. 4:{\color{Orange} \text{Prop. 4:} }

Sea f:E→E′ son equivalentes:1.  f continua.2.  f−1(V)⊆E es abierto ∀ V⊆E′, abierto.3.  f−1(F)⊆E s cerrado ∀ F⊆E′ , cerrado.\begin{array}{l} \text{Sea $f:E\to E'$ son equivalentes:}\\ 1.\: \text{ $f$ continua.}\\ 2.\:\text{ $f^{-1}(V)\subseteq E$ es abierto $\forall\: V\subseteq E',$ abierto.}\\ 3.\:\text{ $f^{-1}(F)\subseteq E$ s cerrado $\forall \: F\subseteq E'$ , cerrado.} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ii→i)ii\to i) Sea E>0\mathcal{E}>0. Tomo

V=B(f(x0),E)V=B(f(x_{0}),\mathcal{E})

Como f−1(V)f^{-1}(V) es abierto y x0∈f−1(V)x_{0} \in f^{-1}(V)

( ∃ δ>0)B(x0,δ)⊆f−1(V)(\:\exists\:\delta>0)\quad B(x_{0},\delta)\subseteq f^{-1}(V)

i→ii)i\to ii) --> 19.27 Sea V⊆E′V\subseteq E' abierto. Tomo x0∈f−1(V)x_{0} \in f^{-1}(V) Como f(x0)∈Vf(x_{0})\in V, y VV abierto. Entonces:

( ∃ E>0)B(f(x0),E)⊆V(\:\exists\:\mathcal{E}>0)\quad B(f(x_{0}),\mathcal{E})\subseteq V

Como ff es continua en x0x_{0}

( ∃ δ>0)B(x0,δ)⊆f−1(B(f(x0),E))⊆f−1(V)(\:\exists\:\delta>0)B(x_{0},\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(x_{0}),\mathcal{E}))\subseteq f^{-1}(V)

2  ⟺  32\iff3 Sale con --> 13.57 parte 4

Corolario 1:{\color{Red} \text{Corolario 1}:}

La continuidad de f no se altera cambiando d o d′ por meˊtricas (fuertemente) equivalentes.\begin{array}{l} \text{La continuidad de $f$ no se altera cambiando $d$ o $d'$ por métricas (fuertemente) equivalentes.} \end{array}
Ejemplos:Ejemplos:
  1. U={(x,y,z)∈R3:0<x.sen(y−zx2+1)<1}U=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3:0<x.sen\left( \frac{y-z}{x^{2}+1} \right)<1 \right\} es abierto.

Es difícil conseguir un δ\delta adecuado. Mejor usamos la proposición.

U=f−1((0,1))U=f^{-1}((0,1)) con f:R3→R3 ∣ f(x,y,z)=x.sen(yzx2+1)f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\:|\:f(x,y,z)=x.sen\left( \frac{yz}{x^{2}+1} \right)

(0,1)(0,1) es abierto. Es normal usar abiertos para demostrar continuidad en puntos que están contenidos en esos abiertos.

Prop. 5:{\color{Orange} \text{Prop. 5:} }

f es continua en x0  ⟺  ∀(xn⊆E) con xn→x0, se tiene f(xn)→f(x0)\begin{array}{l} \text{$f$ es continua en $x_{0}\iff \forall(x_{n}\subseteq E)$ con $x_{n}\to x_{0}$, se tiene $f(x_{n})\to f(x_{0})$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ⇒)\Rightarrow) Sea (xn)⊆E(x_{n})\subseteq E con xn→x0x_{n}\to x_{0}. Sea E>0\mathcal{E}>0 Tengo δ>0\delta>0 con

f(B(x0,δ))⊆B(f(x0),E)f(B(x_{0},\delta))\subseteq B(f(x_{0}),\mathcal{E})

Como xn→x0,x_{n}\to x_{0}, ( ∃ n0)  xn∈B(x0,δ)∀n≥n0(\:\exists\:n_{0})\: \:x_{n} \in B(x_{0},\delta)\quad\forall n\geq n_{0} Así, f(xn)∈B(f(x0),E)∀n≥n0f(x_{n}) \in B(f(x_{0}),\mathcal{E})\quad\forall n\geq n_{0}

⇐)\Leftarrow) Por contrarrecíproco Supongo que ff no es continua en x0x_{0}

( ∃ E>0)(∀δ>0) ∃ x∈B(x0,δ)∖f−1(B(f(x0),E))(\:\exists\:\mathcal{E}>0)(\forall\delta>0)\quad \:\exists\:x \in B(x_{0},\delta)\setminus f^{-1}\left(B(f(x_{0}),\mathcal{E})\right)

Si x∉f−1(B(f(x0),E))  ⟹  d(f(x),f(x0))≥Ex \not\in f^{-1}\left(B(f(x_{0}),\mathcal{E})\right) \implies d(f(x),f(x_{0}))\geq\mathcal{E} --> 42.00

Tomo, para n∈N,δn=1nn \in \mathbb{N},\delta_{n}= \frac{1}{n}

xn∈B(x0,1n) como arribax_{n} \in B\left( x_{0}, \frac{1}{n} \right) \text{ como arriba}

Cada δn\delta_{n} me da un xnx_{n}

Así, xn→x0(d(xn,x0)<1n)x_{n}\to x_{0}\quad\left( d(x_{n},x_{0})< \frac{1}{n} \right) Pero f(xn)↛f(x0):d(f(xn),f(x0))≥E∀nf(x_{n})\not\to f(x_{0}):d(f(x_{n}),f(x_{0}))\geq\mathcal{E}\quad\forall n Absurdo pues me contruí ... --> 46.10

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. 6:{\color{Orange} \text{Prop. 6:} }

f:E→E′,f es continua   ⟺  (∀A⊆E)f(A‾)⊆f(A)‾\begin{array}{l} \text{$f:E\to E',f$ es continua $\iff(\forall A\subseteq E)f(\overline{A})\subseteq\overline{{f(A)}}$} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } ⇒)\Rightarrow)

Sea y0∈f(A‾),y0=f(x0),x0∈A‾.y_{0} \in f(\overline{A}),y_{0}=f(x_{0}),x_{0} \in \overline{A}. Tengo (xn⊆A(x_{n}\subseteq A con xn→x0x_{n}\to x_{0}. Como ff es continua.

f(xn)→f(x0).Asif(x0)∈f(A)f(x_{n})\to f(x_{0}).Asi \quad f(x_{0})\in f(A)

Usamos que f(xn)∈f(A)f(x_{n})\in f(A)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

⇐)\Leftarrow)

La demo es oscura, según el profe

Hay una demo completa en video de Continuidad I - Pandemia: La vuelta no convence.

Citas y Comentarios

Prox. L-L. Capitulo 6.

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