Definiciones de Compacidad

Resumen y definiciones del tema

tags: Análisis Avanzado

Teórica 13

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

K⊆E es compacto si ∀(an)⊆K, ∃ (ank) subsucesioˊn con ank→k→∞l,l∈K.\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$ es compacto si $\forall(a_{n})\subseteq K,\:\exists\:(a_{n_{k}})$ subsucesión con $a_{n_{k}} \underset{k\to \infty}{\to} l,\quad l \in K$.} \end{array}

Lema 1:{\color{green} \text{Lema 1:} }

K⊆R compacto. Entonces K es acotado. Maˊs auˊn,  ∃ a,b∈K con K⊆[a,b].\begin{array}{l} \text{$K\subseteq \mathbb{R}$ compacto. Entonces $K$ es acotado. Más aún, $\:\exists\:a,b\in K$ con $K \subseteq[a,b]$.} \end{array}

Prop. 1:{\color{Orange} \text{Prop. 1:} }

K⊆E compacto. Entonces K es cerrado y acotado\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$ compacto. Entonces $K$ es cerrado y acotado} \end{array}

No vale la vuelta, ver ej. 2

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

Decimos que m∈N es punto panoraˊmico si an<am∀n>m\begin{array}{l} \text{Decimos que $m\in \mathbb{N}$ es punto panorámico si $a_{n}<a_{m}\quad\forall n>m$} \end{array}

Teorema 1:{\color{violet} \text{Teorema 1:} }

Teorema de Bolzano-WeierstrassToda sucesioˊn (an)⊆R acotada tiene una subsucesioˊn convergente.\begin{array}{l} \text{Teorema de Bolzano-Weierstrass} \\ \text{Toda sucesión $(a_{n})\subseteq \mathbb{R}$ acotada tiene una subsucesión convergente.} \end{array}

Teorema 2:{\color{violet} \text{Teorema 2:} }

Teorema de Heine-BorelEn (Rn,d2) todo cerrado y acotado es compacto.\begin{array}{l} \text{Teorema de Heine-Borel} \\ \text{En $(\mathbb{R}^n,d_{2})$ todo cerrado y acotado es compacto.} \end{array}

También sucede en d1d_{1} y d∞d_{\infty}. Este teorema es importante porque garantiza que cualquier sucesión en un conjunto cerrado y acotado tiene una subsecuencia convergente cuyo límite también pertenece al conjunto.

Teórica 14

Prop. 2:{\color{Orange} \text{Prop. 2:} }

f:E→E′ continua, K⊆E compacto. Entonces f es uniformemente continua en K.\begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ continua, $K\subseteq E$ compacto. Entonces $f$ es uniformemente continua en $K$.} \end{array}

Prop. 3:{\color{Orange} \text{Prop. 3:} }

f:E→E′ continua. Entonces f(K)⊆E′ es compacto ∀K⊆E compacto. \begin{array}{l} \text{$f:E\to E'$ continua. Entonces $f(K)\subseteq E'$ es compacto $\forall K\subseteq E$ compacto. } \end{array}

Una función continua manda compactos en compactos.

Corolario 1:{\color{Red} \text{Corolario 1}:}

f:E→R continuaEntonces ∀K⊆E compacto, f es acotado en K. Maˊs auˊn, alcanza un maˊximo y un mıˊnimo.\begin{array}{l} \text{$f:E\to \mathbb{R}$ continua}\\ \text{Entonces $\forall K\subseteq E$ compacto, $f$ es acotado en $K$. Más aún, alcanza un máximo y un mínimo.} \end{array}

Def. 3:{\color{Cyan} \text{Def. 3:} }

G⊆P(E) es un cubrimiento por abiertos de K si:1. G es abierto de E ∀G∈G2. K⊆⋃G∈GG. (i.e.,∀k∈K ∃ G∈G con k∈G)\begin{array}{l} \text{$\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(E)$ es un cubrimiento por abiertos de $K$ si:}\\ \text{1. $G$ es abierto de $E\:\forall G\in\mathcal{G}$}\\ \text{2. $K\subseteq \bigcup_{G\in\mathcal{G}}G$. (i.e.,$\forall k \in K\:\exists\:G\in\mathcal{G}$ con $k \in G$)} \end{array}

Teorema 3:{\color{violet} \text{Teorema 3:} }

K⊆E. Son equivalentes:1. K es compacto.2. ∀A⊆K infinito,A′⋂K≠∅. Con A′ el conj. de ptos. de acumulacioˊn de A.3. ∀G cubrimiento por abiertos de K,  ∃ F⊆G finito con F cubrimiento de K.\begin{array}{l} \text{$K\subseteq E$. Son equivalentes:}\\ \text{1. $K$ es compacto.}\\ \text{2. $\forall A\subseteq K\: infinito,A'\bigcap K\neq \emptyset$. Con $A'$ el conj. de ptos. de acumulación de $A$.}\\ \text{3. $\forall\mathcal{G}$ cubrimiento por abiertos de $K$, $\:\exists\:\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ finito con $\mathcal{F}$ cubrimiento de $K$.} \end{array}

Esto me da una caracterización de compacidad mediante cubrimientos.

Propiedades sacadas de la guía

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} } Del ej. 4

A compacto, B cerrado   ⟹  A∩B es compacto\begin{array}{l} \text{$A$ compacto, $B$ cerrado $\implies A\cap B$ es compacto} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Ver resuelto de la guía

Punto Fijo

Def. 1:{\color{Cyan} \text{Def. 1:} }

f:X→X,x0∈X es punto fijo de f si f(x0)=x0\begin{array}{l} \text{$f:X\to X,x_{0} \in X$ es punto fijo de $f$ si $f(x_{0})=x_{0}$} \end{array}

Buscamos condiciones (X=EX=E espacio métrico) sobre ff y/o EE que demuestren existencia y/o unicidad de punto fijo. Hallarlos y/o aproximarlo.

Def. 2:{\color{Cyan} \text{Def. 2:} }

f:E→E es contractiva si( ∃ 0≤C<1)d(f(x),f(y))≤C.d(x,y)∀x,y∈E\begin{array}{l} \text{$f:E\to E$ es contractiva si}\\ (\:\exists\:0\leq C<1)\quad d(f(x),f(y))\leq C.d(x,y)\quad \forall x,y \in E \end{array}

Es decir, ff es Lipschitz con constante menor a 11

Teorema (Banach) :{\color{violet} \text{Teorema (Banach) :} }

Si E completo, f:E→E es contractiva   ⟹   f tiene un uˊnico punto fijo x0.\begin{array}{l} \text{Si $E$ completo, $f:E\to E$ es contractiva $\implies$ $f$ tiene un único punto fijo }x_{0}. \end{array}

Más aún, ∀x1∈E:(fn(x1))n∈N\forall x_{1}\in E:(f^n(x_{1}))_{n\in \mathbb{N}} converge a x0.x_{0}.

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

Sea E compacto, f:E→E tal que d(f(x),f(y))<d(x,y)∀x,y∈E,x≠yEntonces f tiene un uˊnico punto fijo\begin{array}{l} \text{Sea $E$ compacto, $f:E\to E$ tal que }\\ d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad\forall x,y\in E,x\neq y\\ \text{Entonces $f$ tiene un único punto fijo} \end{array}