tags: Análisis Avanzado

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Definiciones

$Def.\:0$

$$\begin{array}{c} \text{Definimos el cardinal de un conjunto $A$ como la clase de equivalencia}\\ \text{de los conjuntos coordinables con $A$:}\\ \#A=Card(A)=\{ B:A\sim B \} \end{array}$$

El cardinal no es un número, es un conjunto.

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$Def.\:1$

$$\text{$A,B$ conjuntos. Decimos que tienen el mismo cardinal si $\exists\:f:A\to B$ biyectiva.}$$

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$Lema\:1$ Supongamos que $A\sim C,B\sim D$

1. $A\times B\sim C\times D$
2. funciones de $A$ a $B:B^{A}\sim D^{C}$
3. Si $A\cap B=C\cap D=\emptyset \implies AUB\sim CUD$

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$Def.\:2$ Sea $A$ un conjunto.

1. $A$ es finito si $\exists n \in \mathbb{N}_{0}$ con $A\sim \underline{n}$, denotamos $\#A=n$
2. $A$ es numerable si $A\sim \mathbb{N}$, denotamos $\#A=\aleph_{0}$
3. $A$ es contable si es finito o numerable
4. $A$ es infinito si no es finito

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$Prop.\:1$

$$\begin{array}{l} \text{$A\subset B,B$ finito.}\\ \text{Entonces $A$ es finito y $\#A< \#B$} \end{array}$$

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$Prop.\:2$

$$\text{$A\subseteq B, B$ numerable. Si $A$ es infinito, es numerable.}$$

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$Def.\:3$

$$\text{$A,B$ conjuntos. Decimos que $\#A\leq\#B$ si $\exists f:A\to B$ inyectiva.}$$

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$Def.\:3.1$

$$\exists\:f:A\to B\:inyectiva\iff \exists\:g:B\to A\:sobreyectiva$$

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$Def.\:3.2$

$$\#A<\#B\quad \text{si}\quad \#A\leq \#B \land A \not\sim B$$

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$Prop.\:3$

$$\text{$\#A\leq\#B\iff \exists g:B\to A$ sobreyectiva}$$

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$Prop.\:4$

$$\text{$A$ infinito $\implies \aleph_{0}\leq\#A$}$$

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$Prop.\:5$

$$\text{$\#A\leq\#B$ y $\#B\leq\#C\implies \#A\leq\#C$}$$

Composición de inyectivas da inyectiva.

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$Teorema\:1$

$$\#A\leq\#B\land\#B\leq\#A\implies\#A=\#B$$

Más fácil es construir inyecciones que biyecciones, por eso es tan útil este teorema

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$Prop.\:6$

$$\text{$A$ num, $B$ finito} \implies A\cup B\: numerable$$

Agregar o quitar cosas finitas a conjuntos infinitos, no hace gran diferencia.

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$Prop.\:7$

$$A,B \: \text{numerables}\implies A\times B\text{ numerable}$$

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$Prop.\:8$

$$\text{$A$ numerable, $B$ numerable} \implies A\bigcup B\text{ numerable}$$

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$Prop.\:9$

$$\begin{array}{l} \text{Para cada $n\in \mathbb{N}$, sea $A_{n}$ contable.}\\ \text{Entones $A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_{n}$ es contable.} \end{array}$$

Unión contable de contables es contable

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$Prop.\:10$

$$\begin{array}{l} \text{$A$ infinito, $C$ contable $\implies A\cup C\sim A$} \end{array}$$

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$Lema\:2$

$$\begin{array}{l} \text{$\mathbb{R}\sim(0,1)$} \end{array}$$

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$Teorema\:2$

$$\text{$\mathbb{R}$ no es numerable}$$

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$\text{Hipótesis del continuo:}$

$$\begin{array}{l} \text{Si $\aleph_{0} \leq \#A\leq c=\#\mathbb{R}$} \\ \text{Entonces $\#A=\aleph_{0}$ ó $\#A=c$} \end{array}$$

No vale usar esta hipótesis para los ejercicios

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$Teorema \:de\: Cantor:$

$$\#X<\#P(X)$$

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$Obs.\:1$

$$\begin{array}{c} P(\mathbb{N})\sim \mathbb{R} \\ \text{Luego $\mathbb{R}$ no es numerable} \end{array}$$

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$Prop.\:11$

$$P(X)\sim \{ 0,1 \}^{X}$$

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$Corolario\:1$

$$\#\mathbb{R}^{\mathbb{R}}>c$$

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$Prop.\:12\:: \text{Ley exponencial}$

$$\begin{array}{l} A^{B\times C}\sim(A^B)^{C} \quad \forall A,B,C\text{ conjuntos} \end{array}$$

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$Corolario\:2$

$$\#\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}=c$$

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Cuestionario

• Si $A$ es un conjunto numerable y $x\not\in A$, entonces $A\sim A\cup \{ x \}$
• Si $A$ es numerable, entonces existen $A_{1},A_{2}\subseteq A$ numerables y disjuntos tales que $A=A_{1}\cup A_{2}$.
• Subconjuntos de los naturales $\sim$ Subconjuntos de los enteros
• $\mathbb{N}\sim \{ x \in \mathbb{Z}:x\equiv1(mod\:3)\}$
• Los puntos cardinales $\sim$ Los nombres de Cantor.