Tue-17-09-2024 11:02 profe: Mauro status: tags:

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Ejercicio 1

Consideremos una sucesión $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ en un espacio métrico que converge a $L$ Sea $A=\bigcup a_{n}$

Probar que $A'\subseteq \{ L \}$ Consideremos $x\neq L$. con lo cual $d(x,L)>0$ Buscamos $r>0$ tal que: (Estamos buscando un $r$ para ver que no se cumple la definición de punto de acumulación)

$$B(x,r)\cap(A\setminus \{ x \})=\emptyset$$ $$\begin{array}{c} \:\exists\:n_{0}\:|\: si\:n\geq n_{0}: \\ d(a_{n},L)< \frac{d(x,L)}{2} \end{array}$$

Definamos

$$r=min\left\{ \frac{d(x,L)}{2},d(a_{n},x):a_{n}\neq x\:\forall n\leq n_{0}0 \right\}$$

Notar que $r>0$, pues tomo mínimo de finitos números positivos.

Veamos que

$$B(x,r)\cap(A\setminus \{ x \})=\emptyset$$

Sea $a \in A\setminus \{ x \}$, $\:\exists\:n \in \mathbb{N}\:|\:a=a_{n}$ Si $n\leq n_{0}$ entonces

$$d(a_{n},x)\geq r$$

Luego $a\not\in B(x,r)$ Si $n>n_{0}$ entonces

$$d(a_{n},x)\geq d(x,L)-d(L,a_{n})> d(L,x)- \frac{d(x,L)}{2}= \frac{1}{2} d(x,L)\geq r$$

Luego $a\not\in B(x,r)$ Queda probado que $x \not\in A'$. Entonces $\{ L \}^c\subseteq(A')^c$ que es equivalente a:

$$A'\subseteq \{ L \}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio 2

Dado un conjunto $A$ mediante una sucesión. Encontrar dos ejemplos. Un donde $A'=\{ L \}$ y otro donde $A'\neq \{ L \}$

• $A'=\{ L \}$

Si $a_{n}\neq L$ para infinitos $n$. Veamos que $A'=\{ L \}$. Dado $r>0:$

$$\:\exists\:n_{0}\:|\: d(L,a_{n})<r\quad \forall n\geq n_{0}$$

Luego

$$B(L,r)\cap (A\setminus \{ L \})\neq \emptyset$$

pues existe $a_{n}\neq L$ con $n\geq n_{0}$

• Caso $A'=\emptyset.$ Si $a_{n}\neq L$ para finitos $n$.

$$\:\exists\:\hat{n}\:|\: si\:n\geq \hat{n}\to a_{n}=L$$

Sea

$$r=min\{ d(a_{n},L):n\leq \hat{n},a_{n}\neq L \}$$

Luego

$$B(L,r)\cap(A\setminus \{ L \})=\emptyset$$

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Citas y Comentarios

Sabemos que la unión de abiertos es abierto. Y la intersección? No siempre. La intersección de cerrados es cerrado. La unión no necesariamente.