Avanzado-Práctica 4- Cardinalidad I

Thu-29-08-2024 11:54 status: tags: Cardinalidad

---

Polinomios en $\mathbb{Q}$

Sea $Q[x]$ el espacio de polinomios con coeficientes racionales.

Ej. : Cuál es su cardinal?

Idea: es numerable, pues si expreso todos los posibles polinomios que puedo generar. Construyo un polinomio, es decir necesito definir n coeficientes $a_{n}$. Y por cada coeficientes tengo tantas posibilidades como $\#\mathbb{Q}$. Luego tengo union de conjuntos numerables.

Defino:

$$Q_{n}[x]=\{ f\in \mathbb{Q}[x]:gr(f)\leq n \}\bigcup \{ 0 \}$$

Luego tenemos

$$\begin{array}{l} \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\dots \times \mathbb{Q}\to Q_{n}[x] \\ \text{n+1 veces} \end{array}$$ $$(\alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})\to\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\dots+\alpha_{n}x^{n}$$

Por lo tanto, como es una biyección y $\#\mathbb{Q}^{n}=\#\mathbb{N}$ resulta que $\#\mathbb{Q}_{n}[x]$ es numerable.

---

$Obs:$

$$\mathbb{Q}[x] \text{ es numerable}$$

$Dem:$ Por inducción: Si $n=1 \implies \mathbb{Q}$ es numerable. Si $\mathbb{Q}^{n}$ es numerable, entonces $\mathbb{Q}^{n}\sim \mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}\sim \mathbb{N}$. Entonces $\mathbb{Q}^{n}\times \mathbb{Q}\sim \mathbb{N}\times \mathbb{N}$. Si tengo una biyección entre las primeras 2 entonces tengo una biyección en la tercera. $f:\mathbb{Q}^{n}\to \mathbb{N}$ y $g:\mathbb{Q}\to \mathbb{N}$ son biy. entonces $(x,y)\to(f(x),g(y))$ es biyección.

Con lo cual $\mathbb{Q}^{n+1}$ es numerable. Finalmente

$$Q[x]=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}Q_{n}[x]$$

es numerable por ser unión numerable de conjuntos numerables.

---

Sabemos $\#\mathbb{R}>\#\mathbb{Q}$. Entonces hay más elementos en $\mathbb{R}$ que en $\mathbb{Q}$.

$$\text{$\sqrt{ 2 }$ hace la diferencia?}$$

Hacemos $\mathbb{Q}\bigcup \{ raices\quad n^{m}:n,m\in \mathbb{Q} \}$. ¿$\mathbb{R}$ sigue siendo mas grande que $\mathbb{Q}$? No, no estaría agarrando $\pi$ por ejemplo. En realidad hay una propiedad, los números trascendentes.

---

$Definicion: \text{Números algebraicos}$ Decimos que $z\in \mathbb{C}$ es algebraico si existe $f\in \mathbb{Q}[x],f\neq0$ tal que $f(z)=0$

Por ej., $r\in \mathbb{Q},i,\sqrt{ 2 },\sqrt{ 2 }+1$ Pues $x-r,x^{2}+1,x^{2}-2,x(x-2)-3$ están en $\mathbb{Q}[x]$

---

$Ej.$

$$A=\{ z\in \mathbb{C},z\; algebraico \} \text{ es numerable}$$

$Dem:$ Dado $f\in \mathbb{Q}[x],f\neq0$. Por el teorema fundamental del algebra $f$ tiene $gr(f)$ raíces (contadas con multiplicidad)

Es decir $\{ z\in \mathbb{C}:f(z)=0 \}$ es finito.

$$A=\bigcup_{f\in Q[x]\setminus \{ 0 \}} \{ z\in \mathbb{C}:f(z)=0 \}$$

y es unión numerable de conjuntos finitos. Luego es numerable.

---

Citas y Comentarios