Thu-14-11-2024 11:50 profe: Mauro status: tags:

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Ejercicio 1

Probar que existe un conjunto $H\subseteq[0,1]\cap \mathbb{Q}^{c}$ de medida uno formado por una unión numerable de cerrados

$$\mu(A)=|A|$$

$Dem:$ --> 30:40 Buscamos escribir

$$H=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_{n},\quad F_{n}\text{ cerrado}$$ $$F_{n}=[0,1]\setminus \bigcup_{m\in \mathbb{N}}B\left( q(n),\frac{2^{-m-1}}{n} \right)$$

$q:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ biyección Acotamos de esta forma:

$$\left|\bigcup_{m}B\left( q(m),\frac{2^{-m-1}}{n} \right)\right|\leq \sum_{m}\left|B\left( q(m),\frac{2^{-m-1}}{n} \right)\right|\leq \sum_{m}\frac{2^{-m}}{n} = \frac{1}{n}$$

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--> sobre la medida de la resta de conjuntos 44:10

$$\begin{array}{c} |A\setminus B|=|A\bigcap B^{c} | \\ |A|=|A\bigcap B^{c} |+|A\bigcap B| \\ \text{si }B\subseteq A\to |A|=|A\setminus B|+|B| \end{array}$$

Asumiendo todo finito

$$\begin{array}{c} |A|-|A\bigcap B|=|A\bigcap B^{c} |=|A\setminus B| \\ \implies |A\setminus B|=|A|-|A\bigcap B|\geq |A|-|B| \end{array}$$

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Luego

$$|F_{n}|\geq |[0,1]|-\left|\bigcup_{m}B\left( q(m),\frac{2^{-m-1} }{n} \right)\right|=1- \frac{1}{n}$$ $$|H|=|\bigcup_{\hat{n}}F_{\hat{n}}|\geq |F_{n}|\geq 1- \frac{1}{n}\quad \forall n\in \mathbb{N}$$

Entonces $|H|\geq1$, pero $H\subseteq[0,1]$ entonces:

$$|H|=1$$

--> Otra sol 49:50

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Ejercicio 2

-->P2 00:00 Sea $A$ medible, $|A|>0$ y $p \in(0,1)$. Luego existe un intervalo $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$ tal que $|A\bigcap(a,b)|\geq p.(a,b)$

Es decir, existe algún intervalo donde $A$ lo "satura"

$$\frac{|A\bigcap(a,b)|}{|(a,b)|}\geq p\quad \text{ con $p$ casi 1}$$

-->Prac 23 P1 00:00 Podemos suponer $|A|<\infty$ Fijemos $p$ y $\mathcal{E}=(1-p).|A|$ Existe $V$ abierto, $V\supseteq A$ y $\mathcal{E}>|V\setminus A|$. Esto implica $|V|<|A|+\mathcal{E}$

Recordar que $|V\setminus A|\geq |V|-|A|$

Un abierto lo podemos pensar como union disjunta numerable de intervalos.

$$V=\dot{\bigcup_{n\in \mathbb{N}}}^{}U_{n}$$ $$|V|=|\bigcup_{n}U_{n}|=\sum_{n\in \mathbb{N}}|U_{n}|<|A|+\mathcal{E}\leq |A|+(1-p).|V|=|A|+(1-p).\sum_{n}|U_{n}|$$ $$p.\sum_{n}|U_{n}|<|A|=|\dot{\bigcup_{n\in \mathbb{N}}}^{}\left( A\cap U_{n} \right) |=\sum_{n} |A\cap U_{n}|$$

Lo ultimo vale pues:

$$A=A\cap V=A\cap\left( \bigcup U_{n} \right)=\bigcup\left( A\cap U_{n} \right)$$

Retomando

$$p.\sum_{n}|U_{n}|<\sum_{n} |A\cap U_{n}|\tag{*}$$

Necesariamente, $\:\exists\:n_{9}\in \mathbb{N}$ tal que (Se puede probar por absurdo, para todo...)

$$p.|U_{n_{0}}|<|A\cap U_{n_{0}}|$$

Tarea: ver que si $\not\exists n_{0}$ llegamos a un absurdo que niega $(*)$

Observación, podíamos suponer que los abiertos $U_{n}$ son intervalos.

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Citas y Comentarios

La clase que viene vemos funciones medibles