Thu-03-10-2024 11:30 profe: Mauro status: tags: Compacidad

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Retomemos los ejercicios que quedaron pendientes:

1. Si $x \in X$ es punto aislado entonces $f$ es continua en $x$

Sea $\mathcal{E}>0$. $\:\exists\:r>0\:|\:B(x,r)\bigcap X=\{ x \}$. Pues $x$ es punto aislado. Tomo $\delta=r$. Luego para todo $y \in B(x,\delta)\implies d(f(x),f(y))=0<\mathcal{E}$

2. Si $f(x)\in Y$ es punto aislado entonces es continua en $x \iff f$ es constante en un entorno de $x$.

$\Rightarrow)$ Sea $f(x)$ punto aislado, tengo que

$$\:\exists\:r>0\:|\: B(f(x),r)\bigcap Y=\{ f(x) \}$$

Además, como $f$ continua en $x$:

$$\forall \mathcal{E}>0,\:\exists\:\delta>0\:|\: f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\mathcal{E})$$

Para $\mathcal{E}=r$, debe existir un tal $\delta$ tal que

$$f(B(x,\delta))\subseteq \{ f(x) \}$$

$\forall x'\in B(x,\delta)$ debe ser que $f(x)=f(x')$ $\implies f$ es constante en un entorno de $x$.

$\Leftarrow)$ $f$ es constante en un entorno de $x \implies \:\exists\:\delta\:|\:\forall x'\in B(x,\delta):f(x')=x \implies f(B(x,\delta))=\{ x \}$ Luego $\forall\mathcal{E}\quad f(x)\in B(f(x),\mathcal{E})\implies x \in B(f(x),\mathcal{E})\implies f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\mathcal{E})\implies f$ continua en $x$.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Continuidad

$$\text{Teorema del valor medio:}$$ $$\text{$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y derivable en $(a,b)$. $\:\exists\:c\in(a,b)\:|\: \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$ }$$

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Sea $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervalo y $f:I\to \mathbb{R}$ derivable con derivada acotada. Entonces $f$ es uniformemente continua.

$Dem:$ Por hipótesis $\:\exists\:M>0\:|\:|f'(x)|\leq M\quad\forall x \in I$. Luego para $x<y$ en $I$:

$$|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|\leq M.|x-y|$$

Probar continuidad uniforme. Fijo $\mathcal{E}>0$. Consideremos $\delta= \frac{\mathcal{E}}{M}$ Ahora, dados $x,z\in X\:|\:|x-z|<\delta$ sucede que

$$|f(x)-f(z)|\leq M.|x-z|<M.\delta=\mathcal{E}$$

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Compacidad

Vimos que compacidad $\implies$ cerrado y acotado.

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Una bola cerrada en el espacio métrico $\mathbb{Q}$ con la métrica usual no es completa.

$Dem:$ Dada una bola, podemos tomar $(a_{n})_{n}$ en la bola tal que tiene límite en $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Luego cualquier subsucesión debe converger a lo mismo. Pero el límite no está en la bola. Dada $B(x,\mathcal{E})\subseteq \mathbb{Q}, \mathcal{E}>0$

$$\:\exists\:k\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\:en\:B\left( x, \frac{\mathcal{E}}{3} \right)$$

Luego

$$\:\exists\:a_{n}\in \mathbb{Q}\:|\: a_{n}\in B\left( k, \frac{\frac{\mathcal{E}}{3}}{n} \right)$$

Pensando en $\mathbb{R}$, esta bola.

$\forall n\in \mathbb{N}\quad a_{n}\to k$

$$|x-a_{n}|\leq |x-k|+|k-a_{n}|\leq \frac{\mathcal{E}}{3}+ \frac{\mathcal{E}}{3}<\mathcal{E}$$

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Ejercicio

Si $K$ es un conjunto finito. Entonces es compacto.

Idea: vamos a tener un elemento que se repite inf.

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