Tue-17-06-2025 20:32 profe: Dario Martin Aza tags: Teoria de la medida

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Conjunto de Vitali

En $[0,1]$ definimos la relación de equivalencia $x\sim y$ si $x-y \in \mathbb{Q}$ . Llamamos conjunto de Vitali al conjunto $V$ que obtenemos tomando un único elemento de cada clase de equivalencia de $\sim$. Uso el axioma de elección.

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Ejercicio 1

$$Sea\: E=\{ \text{números en el intervalo $[0,1]$ que no usen el dígito 2 en su desarrollo decimal.} \}$$

Probar que $E$ es medible y calcular $\mu(E)$

$Dem:$

$$E_{1}=[0,0.2)\cup[0.3,1]$$

$E_{1}$ es el conjunto de números que no tienen al 2 como primer dígito decimal. Y es medible pues es unión de dos conjuntos medibles.

$$E_{2}=\{ \text{Número que no tienen al 2 en sus primeros 2 dígitos} \}$$ $$E_{2}=[0,0.02)\cup(0.03,0.012)\cup(0.13,0.2)\cup((0.3,1]\setminus \{ 0.32,0.42,\dots \})$$

Al 0.03 no lo incluyo pues tengo 2 representaciones: 0.0299999 y 0.030000. Habría que considerar esto.

A $E_{2}$ lo construyo a partir de $E_{1}$ removiendo $\frac{1}{10}$ del conjunto $E_{1}$ Inductivamente, construyo

$$E_{n}=\{ \text{ números en $[0,1]$ que no tienen ningún 2 en sus primeros $n$ dígitos} \}$$

$E_{n}$ es medible porque es unión de intervalos. De la observación anterior surge que $\mu(E_{n})=\frac{9}{10}\cdot \mu(E_{n-1})$

$$E=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_{n}\quad y\quad \mu(E)\leq \mu(E_{n})=\left( \frac{9}{10} \right)^{n} \quad\forall n\in \mathbb{N}$$ $$\implies \mu(E)\leq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \left( \frac{9}{10} \right)^{n} =0$$

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Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ Lipschitz y $A\subseteq \mathbb{R}$ de medida cero. Probar que $f(A)$ es de medida cero.

$Dem:$ Sea $L$ la constante de Lipschitz de $f$, afirmo que

$$f((a,b))\subseteq I$$

Con $I$ intervalo de longitud como mucho $2\cdot L\cdot(b-a)$

Sea $x \in(a,b)\implies$

$$\left| f(x)-f(a) \right| \leq L\cdot(x-a)\leq L\cdot(b-a)$$ $$\implies f(x) \in[f(a)-L\cdot(b-a),f(a)+L\cdot(b-a)]=I$$

Sea $\mathcal{E}>0$, como $A$ es de medida cero $\:\exists\:(I_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ intervalos con $A\subseteq \displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n}$ tales que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mu(I_{n})<\frac{\mathcal{E}}{2\cdot L}$

$$\implies f(A)\subseteq f\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} \right)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}f(I_{n})$$ $$\implies \mu(f(A))\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(f(I_{n}))\leq \sum_{n=1}^{\infty} 2L\cdot \mu(I_{n})=2L\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_{n})<\mathcal{E}$$

Como $\mathcal{E}>0$ es arbitrario $\implies f(A)$ resulta un conjunto nulo y en particular medible.

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