G8-E8

[!infobox] Proposición: Principio de Inclusión-Exclusión (Forma Aditiva) Contexto: Propiedades Algebraicas de la Medida Enunciado: Sean A,B∈MA, B \in \mathcal{M}. Entonces:

μ(A∪B)+μ(A∩B)=μ(A)+μ(B)\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)

Advertencia/Clave: Esta forma es preferible a μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)−μ(A∩B)\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B) porque es válida incluso si las medidas son infinitas (evita la indeterminación ∞−∞\infty - \infty).

Demostración:

Definimos los siguientes conjuntos disjuntos dos a dos:

  1. DA=A∖B=A∩BcD_A = A \setminus B = A \cap B^c
  2. DB=B∖A=B∩AcD_B = B \setminus A = B \cap A^c
  3. I=A∩BI = A \cap B

Podemos expresar AA, BB y A∪BA \cup B como uniones disjuntas de estos componentes:

  • A=DA∪IA = D_A \cup I
  • B=DB∪IB = D_B \cup I
  • A∪B=DA∪DB∪IA \cup B = D_A \cup D_B \cup I

Por la propiedad de aditividad finita de la medida μ\mu (aplicable pues los componentes son disjuntos):

  1. μ(A)=μ(DA)+μ(I)\mu(A) = \mu(D_A) + \mu(I)
  2. μ(B)=μ(DB)+μ(I)\mu(B) = \mu(D_B) + \mu(I)
  3. μ(A∪B)=μ(DA)+μ(DB)+μ(I)\mu(A \cup B) = \mu(D_A) + \mu(D_B) + \mu(I)

Calculamos μ(A∪B)+μ(A∩B)\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B):

μ(A∪B)+μ(A∩B)=[μ(DA)+μ(DB)+μ(I)]+μ(I)=μ(DA)+μ(DB)+2μ(I)\begin{aligned} \mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) &= [\mu(D_A) + \mu(D_B) + \mu(I)] + \mu(I) \\ &= \mu(D_A) + \mu(D_B) + 2\mu(I) \end{aligned}

Calculamos μ(A)+μ(B)\mu(A) + \mu(B) sumando las ecuaciones (1) y (2):

μ(A)+μ(B)=[μ(DA)+μ(I)]+[μ(DB)+μ(I)]=μ(DA)+μ(DB)+2μ(I)\begin{aligned} \mu(A) + \mu(B) &= [\mu(D_A) + \mu(I)] + [\mu(D_B) + \mu(I)] \\ &= \mu(D_A) + \mu(D_B) + 2\mu(I) \end{aligned}

Comparando ambos resultados, concluimos que:

μ(A∪B)+μ(A∩B)=μ(A)+μ(B)\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B) ■\blacksquare