G8-E7

[!infobox] Proposición: Acotación vs. Medida Finita Contexto: Propiedades de la Medida de Lebesgue Enunciado:

1. Todo conjunto medible y acotado tiene medida finita.
2. El recíproco es falso: Existen conjuntos de medida finita no acotados. Advertencia/Clave: Para el contraejemplo, recordar la serie geométrica $\sum (1/2)^n$ distribuida a lo largo de $\mathbb{R}$.

Demostración (1): Acotado $\implies$ Finito Sea $E \in \mathcal{M}$ un conjunto acotado. Por definición de acotación en $\mathbb{R}$, existe un $M > 0$ tal que $E \subseteq [-M, M]$. Por la propiedad de monotonía de la medida:

$$\mu(E) \leq \mu([-M, M])$$

Sabemos que la medida de un intervalo acotado es su longitud:

$$\mu([-M, M]) = M - (-M) = 2M < \infty$$

Por lo tanto, $\mu(E)$ es finita.

Contraejemplo (2): Finito $\nRightarrow$ Acotado Consideremos el conjunto $A$ definido como la unión infinita de intervalos:

$$A = \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n, \quad \text{donde } I_n = \left[n, n + \frac{1}{2^n}\right]$$

1. No Acotado: Para cualquier $K > 0$, existe un $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > K$. Como $I_n \subseteq A$, el conjunto tiene puntos mayores que $K$. Por tanto, no está contenido en ningún intervalo finito.

2. Medida Finita: Observamos que los intervalos $I_n$ son disjuntos dos a dos (ya que $n + \frac{1}{2^n} < n+1$). Por la $\sigma$-aditividad de la medida:

$$\mu(A) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left(n + \frac{1}{2^n}\right) - n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$$

Esta es una serie geométrica convergente con razón $r = 1/2$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$$

Como $\mu(A) = 1$, el conjunto tiene medida finita.

$$\blacksquare$$