G8-E5

[!infobox] Proposición: Medibilidad de Conjuntos Abiertos y Cerrados Contexto: $\sigma$-álgebra de Borel / Lebesgue Enunciado: Sea $\mathcal{M}$ la $\sigma$-álgebra de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

1. Si $A \subseteq \mathbb{R}$ es abierto, entonces $A \in \mathcal{M}$.
2. Si $F \subseteq \mathbb{R}$ es cerrado, entonces $F \in \mathcal{M}$. Advertencia/Clave: La prueba se basa en el Teorema de Estructura de los abiertos en $\mathbb{R}$ (unión contable de intervalos).

Demostración:

(a) Caso Abierto Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto abierto.

1. Estructura: Sabemos que todo conjunto abierto no vacío en $\mathbb{R}$ puede escribirse como una unión contable de intervalos abiertos disjuntos. (Si $A = \emptyset$, es trivialmente medible). Existen intervalos abiertos $\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ tales que:

$$A = \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n$$

2. Medibilidad de intervalos: Sabemos que los intervalos abiertos son medibles Lebesgue ($I_n \in \mathcal{M}$ para todo $n$).
3. Clausura de la $\sigma$-álgebra: Por definición, $\mathcal{M}$ es cerrada bajo uniones numerables.

$$I_n \in \mathcal{M}, \forall n \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \in \mathcal{M}$$

4. Conclusión:

$$A \in \mathcal{M}$$

(b) Caso Cerrado Sea $F \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto cerrado.

1. Relación con abiertos: Por definición de conjunto cerrado, su complemento $F^c = \mathbb{R} \setminus F$ es un conjunto abierto.
2. Aplicación de (a): Por el resultado demostrado en la parte (a):

$$F^c \in \mathcal{M}$$

3. Clausura bajo complementos: Por definición de $\sigma$-álgebra, si un conjunto pertenece a $\mathcal{M}$, su complemento también pertenece a $\mathcal{M}$.

$$(F^c)^c \in \mathcal{M}$$

4. Conclusión: Dado que $(F^c)^c = F$:

$$F \in \mathcal{M}$$ $$\blacksquare$$