[!infobox] Proposición: Invarianza de la Medida bajo Dilatación Contexto: Propiedades de la Medida de Lebesgue Enunciado: Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto medible y $c \in \mathbb{R}$.

1. El conjunto $cA = \{ca : a \in A\}$ es medible.
2. Su medida escala linealmente con el valor absoluto de $c$:

$$\mu(cA) = |c|\mu(A)$$

Advertencia/Clave: La prueba se basa en la definición de Medida Exterior ($\mu^*$) y cómo la longitud de los intervalos se ve afectada por un escalar ($\ell(cI) = |c|\ell(I)$).

Demostración:

Caso 1: $c = 0$ $cA = \{0\}$. Todo conjunto finito tiene medida nula. $\mu(\{0\}) = 0 = 0 \cdot \mu(A)$. Se cumple trivialmente.

Caso 2: $c \neq 0$

(a) Medibilidad de $cA$ Como $A \in \mathcal{M}$, por el Teorema de Estructura, existe un conjunto $F$ (unión numerable de cerrados) y un conjunto nulo $Z$ tal que $A = F \cup Z$. Entonces $cA = cF \cup cZ$.

1. La función $f(x) = cx$ es un homeomorfismo de $\mathbb{R}$. Mapea conjuntos cerrados a cerrados (y uniones numerables a uniones numerables). Por tanto, $cF$ es Borel-medible.
2. Para $Z$, si $\mu(Z)=0$, para todo $\varepsilon > 0$ existe una cubierta de intervalos $\{I_n\}$ tal que $\sum \ell(I_n) < \varepsilon/|c|$. La colección $\{cI_n\}$ cubre a $cZ$ y tiene longitud total $\sum |c|\ell(I_n) = |c|\sum \ell(I_n) < \varepsilon$. $\implies \mu(cZ) = 0$.
3. La unión de un Borel y un Nulo es Lebesgue-medible. $\therefore cA \in \mathcal{M}$.

(b) y (c) Cálculo de la Medida Sea $\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una colección de intervalos abiertos que cubren a $A$. Entonces $\{cI_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es una colección de intervalos abiertos que cubren a $cA$.

La relación de longitud para un intervalo $I=(a,b)$ es:

$$\ell(cI) = |cb - ca| = |c(b-a)| = |c|\ell(I)$$

Por definición de medida exterior (que coincide con la medida pues ya probamos medibilidad):

$$\begin{aligned} \mu(cA) &= \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(J_n) : cA \subseteq \bigcup J_n \right\} \\ &= \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(cI_n) : A \subseteq \bigcup I_n \right\} \quad \text{(Biyección entre cubiertas)} \\ &= \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} |c|\ell(I_n) : A \subseteq \bigcup I_n \right\} \\ &= |c| \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n) : A \subseteq \bigcup I_n \right\} \\ &= |c|\mu(A) \end{aligned}$$

Conclusión:

• Si $c > 0$, $\mu(cA) = c\mu(A)$.
• Si $c < 0$, $\mu(cA) = -c\mu(A) = |c|\mu(A)$.

$$\blacksquare$$

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Escalamiento y medida de Lebesgue

Sea $(\mathbb{R},\mathcal{M},\mu)$ el espacio de Lebesgue y, para $c\in\mathbb{R}$ y $A\subset\mathbb{R}$, definimos

$$cA := \{cx : x \in A\}.$$

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(a) Si $A \in \mathcal{M}$ entonces $cA \in \mathcal{M}$

Sea $c\in\mathbb{R}$ fijo y consideremos la aplicación

$$T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad T(x)=cx.$$

Para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple

$$|T(x)-T(y)| = |c|\,|x-y|.$$

Luego $T$ es Lipschitz, en particular continua y por lo tanto medible. Como la imagen de un conjunto medible por una función medible es medible, se tiene

$$T(A)\in\mathcal{M}.$$

Pero $T(A)=cA$, luego $cA\in\mathcal{M}$.

$\square$

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(b) Si $c>0$, entonces $\mu(cA)=c\,\mu(A)$

La demostración se realiza en tres pasos.

Paso 1: Intervalos

Sea $I=(a,b)$ un intervalo abierto. Entonces

$$cI=(ca,cb),$$

y su longitud es

$$\ell(cI)=cb-ca=c(b-a)=c\,\ell(I).$$

Como la medida de Lebesgue coincide con la longitud en intervalos,

$$\mu(cI)=c\,\mu(I).$$

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Paso 2: Conjuntos abiertos

Sea $U\subset\mathbb{R}$ un conjunto abierto. Existe una familia numerable de intervalos abiertos disjuntos $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que

$$U=\bigsqcup_{n=1}^{\infty} I_n.$$

Como $c>0$, los conjuntos $cI_n$ son intervalos abiertos disjuntos y

$$cU=\bigsqcup_{n=1}^{\infty} cI_n.$$

Usando la $\sigma$-aditividad de $\mu$ y el Paso 1:

$$\begin{aligned} \mu(cU) &=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(cI_n) =\sum_{n=1}^{\infty} c\,\mu(I_n) = c\sum_{n=1}^{\infty}\mu(I_n) = c\,\mu(U). \end{aligned}$$

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Paso 3: Conjuntos medibles arbitrarios

Sea $A\in\mathcal{M}$. Por la regularidad exterior de la medida de Lebesgue,

$$\mu(A)=\inf\{\mu(U): A\subset U,\ U \text{ abierto}\}.$$

Como $c>0$, la aplicación $T(x)=cx$ es un homeomorfismo de $\mathbb{R}$. En particular:

• $U$ es abierto si y solo si $cU$ es abierto;
• $A\subset U$ si y solo si $cA\subset cU$.

Por lo tanto, la aplicación $U\mapsto cU$ induce una biyección entre

$$\{U:\ A\subset U,\ U \text{ abierto}\} \quad\text{y}\quad \{V:\ cA\subset V,\ V \text{ abierto}\}.$$

De aquí se obtiene

$$\begin{aligned} \mu(cA) &=\inf\{\mu(V): cA\subset V,\ V \text{ abierto}\} \\ &=\inf\{\mu(cU): A\subset U,\ U \text{ abierto}\}. \end{aligned}$$

Usando el Paso 2,

$$\mu(cA)=\inf\{c\,\mu(U): A\subset U,\ U \text{ abierto}\} = c\,\inf\{\mu(U): A\subset U\} = c\,\mu(A).$$

$\square$

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(c) Caso $c<0$

Sea $c<0$. Observamos que

$$cA = |c|\,(-A), \qquad -A:=\{-x:x\in A\}.$$

La aplicación $x\mapsto -x$ es una isometría de $\mathbb{R}$, luego preserva la medida de Lebesgue:

$$\mu(-A)=\mu(A).$$

Aplicando el inciso (b) con $|c|>0$ se obtiene

$$\mu(cA)=\mu(|c|(-A))=|c|\,\mu(-A)=|c|\,\mu(A).$$

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Conclusión

Para todo $A\in\mathcal{M}$ y todo $c\in\mathbb{R}$ se cumple

$$\boxed{\mu(cA)=|c|\,\mu(A).}$$