G6-E6

[!infobox] $\ell^\infty$ no es Compacto ni Separable Contexto: Análisis Funcional / Espacios de Sucesiones Enunciado: Sea $\ell^\infty$ el espacio de sucesiones acotadas con la norma del supremo.

1. La bola unitaria cerrada $\overline{B}(0,1)$ no es compacta.
2. $\ell^\infty$ no es separable (no tiene subconjunto denso numerable). Advertencia/Clave: $\ell^\infty$ es "mucho más grande" que $\ell^p$ ($1 \le p < \infty$) o $c_0$, los cuales sí son separables. La clave para (b) es usar sucesiones binarias (características de subconjuntos) para generar una cantidad no numerable de puntos a distancia 1.

Demostración Rigurosa:

(a) No Compacidad de la Bola Unitaria

1. Sucesión sin subsucesiones convergentes: Consideremos la base canónica $(e_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \ell^\infty$, donde $e_n = (\delta_{nk})_k$. Observamos que $\|e_n\|_\infty = 1$, luego $(e_n) \subset \overline{B}(0,1)$.

2. Propiedad Métrica: Para cualquier $n \neq m$, tenemos:

$$\|e_n - e_m\|_\infty = \sup_{k} |(e_n)_k - (e_m)_k| = 1$$

Esto implica que la sucesión no es de Cauchy, y ninguna de sus subsucesiones puede ser de Cauchy.

3. Conclusión: Como en un espacio métrico convergencia implica Cauchy, $(e_n)$ no admite ninguna subsucesión convergente. Por tanto, $\overline{B}(0,1)$ no es secuencialmente compacta (y por ende no es compacta).

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(b) No Separabilidad

Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que $\ell^\infty$ es separable. Sea $D$ un subconjunto denso y numerable de $\ell^\infty$.

1. Conjunto de Testeo Incontable: Sea $\mathcal{S}$ la familia de todas las sucesiones de ceros y unos:

$$\mathcal{S} = \{ (x_n) \in \ell^\infty : x_n \in \{0, 1\} \}$$

Sabemos que $|\mathcal{S}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}$ (no numerable).

2. Separación Uniforme: Para cualesquiera $x, y \in \mathcal{S}$ con $x \neq y$, existe $k$ tal que $x_k \neq y_k$, lo que implica $|x_k - y_k| = 1$.

$$\|x - y\|_\infty = 1$$

3. Construcción de Bolas Disjuntas: Para cada $x \in \mathcal{S}$, definimos la bola abierta $U_x = B(x, 1/3)$. Si $x, y \in \mathcal{S}$ y $x \neq y$, entonces $U_x \cap U_y = \emptyset$. Justificación: Si $z \in U_x \cap U_y$, por desigualdad triangular:

$$1 = \|x - y\| \leq \|x - z\| + \|z - y\| < 1/3 + 1/3 = 2/3$$

Lo cual es absurdo ($1 < 2/3$).

4. Contradicción con la Densidad: Como $D$ es denso en $\ell^\infty$, debe intersecar a todo abierto no vacío. Para cada $x \in \mathcal{S}$, elegimos un elemento $d_x \in D \cap U_x$. Dado que las bolas $U_x$ son disjuntas, si $x \neq y \implies d_x \neq d_y$. Esto define una función inyectiva $f: \mathcal{S} \to D$.

$$\implies |\mathcal{S}| \leq |D|$$

Esto implica que $D$ es no numerable, lo que contradice la hipótesis inicial.

$\therefore \ell^\infty$ no es separable. $\blacksquare$

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[!infobox] Formalización: Ausencia de Subsucesiones de Cauchy Contexto: Espacios Métricos / Sucesiones en $\ell^\infty$ Enunciado: La sucesión canónica $(e_n)$ en $\ell^\infty$ no admite ninguna subsucesión de Cauchy. Clave: Usar la negación lógica de la definición de Cauchy: $\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n, m \geq N : \|x_n - x_m\| \geq \epsilon$.

Demostración Rigurosa:

Sea $(e_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ una subsucesión arbitraria de $(e_n)$. Vamos a demostrar que $(e_{n_k})$ no es de Cauchy.

1. Hipótesis Auxiliar (Distancia constante): Sabemos que para cualesquiera índices $i \neq j$, $\|e_i - e_j\|_\infty = 1$. Dado que una subsucesión conserva el orden estricto de los índices ($k \neq j \implies n_k \neq n_j$), tenemos que para la subsucesión:

$$\|e_{n_k} - e_{n_j}\|_\infty = 1 \quad \forall k \neq j$$

2. Negación de la Condición de Cauchy: Recordemos que una sucesión $(x_k)$ es de Cauchy si:

$$\forall \epsilon > 0, \exists K_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \forall k, j \geq K_0 \implies \|x_k - x_j\| < \epsilon$$

Para probar que **no** es de Cauchy, mostramos que existe un $\epsilon_0 > 0$ para el cual la condición falla para todo $K_0$.

* **Elección de $\epsilon$:** Sea $\epsilon_0 = \frac{1}{2}$.
* **Prueba del fallo:** Sea $K_0 \in \mathbb{N}$ cualquier número natural (arbitrario).
* Elegimos dos índices $k = K_0$ y $j = K_0 + 1$.
* Claramente $k, j \geq K_0$ y $k \neq j$.
* Calculamos la distancia:
    

$$\|e_{n_k} - e_{n_j}\|_\infty = 1$$

* Observamos que $1 \not< \frac{1}{2}$, es decir:
    

$$\|e_{n_k} - e_{n_j}\|_\infty \geq \epsilon_0$$

3. Conclusión: Hemos demostrado que existe un $\epsilon_0 = 1/2$ tal que para todo umbral $K_0$, existen términos posteriores cuya distancia es mayor a $\epsilon_0$. $\therefore$ La subsucesión $(e_{n_k})$ no es de Cauchy.

   Como $(e_{n_k})$ era una subsucesión arbitraria, concluimos que ninguna subsucesión de $(e_n)$ es de Cauchy. Dado que $\ell^\infty$ es un espacio métrico (donde convergente $\implies$ Cauchy), ninguna subsucesión puede ser convergente. $\blacksquare$

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[!infobox] Caracterización de Conjuntos Densos Contexto: Topología / Espacios Métricos Enunciado: Sea $(E, \|\cdot\|)$ un espacio normado (o métrico) y $D \subseteq E$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $D$ es denso en $E$ (es decir, $\overline{D} = E$).
2. $D$ tiene intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío de $E$. Advertencia/Clave: Esta equivalencia es fundamental. A veces es más fácil probar densidad acercándose a puntos (def. 1) y a veces es más útil usar densidad para "cazar" elementos dentro de abiertos (def. 2), como en el teorema de Baire o en problemas de separabilidad.

Demostración ($1 \implies 2$):

Supongamos que $\overline{D} = E$. Sea $U \subseteq E$ un conjunto abierto tal que $U \neq \emptyset$. Queremos probar que $D \cap U \neq \emptyset$.

1. Existencia de punto interior: Como $U \neq \emptyset$, existe al menos un $x \in U$.

2. Propiedad de conjunto abierto: Por definición de abierto, existe un radio $r > 0$ tal que la bola abierta centrada en $x$ está contenida en $U$:

$$B(x, r) \subseteq U$$

3. Uso de la hipótesis de densidad: Como $x \in E$ y $E = \overline{D}$, entonces $x \in \overline{D}$. Por caracterización de clausura en espacios métricos, esto implica que toda bola centrada en $x$ contiene puntos de $D$. En particular:

$$B(x, r) \cap D \neq \emptyset$$

4. Conclusión: Sea $y \in B(x, r) \cap D$. Como $B(x, r) \subseteq U$, entonces $y \in U$. Como $y \in D$ y $y \in U$, tenemos $y \in D \cap U$.

$$\therefore D \cap U \neq \emptyset \quad \blacksquare$$

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[!infobox] Lema: Inyectividad por Bolas Disjuntas Contexto: Teoría de Conjuntos / Topología Objetivo: Justificar formalmente que la elección de puntos en bolas disjuntas define una función inyectiva. Enunciado: Sea $\{U_x\}_{x \in S}$ una familia de conjuntos disjuntos ($U_x \cap U_y = \emptyset$ si $x \neq y$). Si definimos una función $f: S \to \bigcup U_x$ tal que $f(x) \in U_x$ para todo $x$, entonces $f$ es inyectiva.

Demostración:

Sean $x, y \in S$ tales que $x \neq y$. Queremos demostrar que $f(x) \neq f(y)$.

1. Pertenencia: Por definición de la función $f$, tenemos:

$$f(x) \in U_x \quad \text{y} \quad f(y) \in U_y$$

2. Disjunción: Por hipótesis, como $x \neq y$, los conjuntos son disjuntos:

$$U_x \cap U_y = \emptyset$$

3. Conclusión: Si suponemos por absurdo que $f(x) = f(y) = z$, entonces:

$$z \in U_x \quad \text{y} \quad z \in U_y \implies z \in U_x \cap U_y$$

Esto contradice que la intersección sea vacía.

$\therefore f(x) \neq f(y)$, lo que implica que $f$ es inyectiva. $\blacksquare$