G6-E11

[!infobox] Operador Integral de Fredholm: Continuidad y Cota Contexto: Análisis Funcional / Operadores en $C([0,1])$ Enunciado: Sea $k: [0,1]\times[0,1] \to \mathbb{R}$ continua. Definimos $K: C([0,1]) \to C([0,1])$ por $(Kf)(x) = \int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy$. Pruebe que $K$ es lineal y continuo, y acote su norma. Advertencia/Clave: La clave es usar la desigualdad $|\int g| \le \int |g|$ y extraer $\|f\|_\infty$ fuera de la integral. La norma del operador resulta estar acotada por el "máximo de la integral del valor absoluto del núcleo".

(a) Linealidad

Sean $f, g \in C([0,1])$ y $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Para todo $x \in [0,1]$:

$$\begin{aligned} (K(\alpha f + \beta g))(x) &= \int_0^1 k(x,y) \left( \alpha f(y) + \beta g(y) \right) \, dy \quad (\text{Definición de } K) \\ &= \int_0^1 \left( \alpha k(x,y)f(y) + \beta k(x,y)g(y) \right) \, dy \quad (\text{Distributividad en } \mathbb{R}) \\ &= \alpha \int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy + \beta \int_0^1 k(x,y)g(y)\,dy \quad (\text{Linealidad de la Integral}) \\ &= \alpha (Kf)(x) + \beta (Kg)(x) \end{aligned}$$

Por definición de suma y producto por escalar en espacios de funciones, $K(\alpha f + \beta g) = \alpha Kf + \beta Kg$. $\therefore K$ es un operador lineal.

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(b) Continuidad y Acotación de la Norma

Para demostrar que $K$ es continuo, probaremos que es un operador acotado. Buscamos $C > 0$ tal que $\|Kf\|_\infty \le C\|f\|_\infty$.

1. Acotación Puntual: Sea $f \in C([0,1])$ y $x \in [0,1]$ fijo.

$$|(Kf)(x)| = \left| \int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy \right|$$

Por la propiedad de valor absoluto de la integral de Riemann:

$$\le \int_0^1 |k(x,y)f(y)|\,dy = \int_0^1 |k(x,y)| \cdot |f(y)|\,dy$$

2. Introducción de la Norma: Sabemos que para todo $y \in [0,1]$, $|f(y)| \le \max_{t} |f(t)| = \|f\|_\infty$. Sustituimos en la integral:

$$\le \int_0^1 |k(x,y)| \cdot \|f\|_\infty \,dy$$

Como $\|f\|_\infty$ es constante respecto a la variable de integración $y$, la extraemos:

$$= \|f\|_\infty \int_0^1 |k(x,y)|\,dy \quad (\star)$$

3. Definición de la Cota del Núcleo: Definimos la función $G(x) = \displaystyle\int_0^1 |k(x,y)|\,dy$. Dado que $k$ es continua en el compacto $[0,1]\times[0,1]$, es uniformemente continua y acotada. Esto implica que $G(x)$ es una función continua en $[0,1]$. Por el Teorema de Weierstrass, $G(x)$ alcanza un máximo absoluto en $[0,1]$. Definimos:

$$M_k = \max_{x \in [0,1]} \int_0^1 |k(x,y)|\,dy$$

De $(\star)$, tenemos que para todo $x$:

$$|(Kf)(x)| \le \|f\|_\infty \cdot M_k$$

4. Cota de la Norma del Operador: Tomamos el supremo sobre $x \in [0,1]$ en ambos lados:

$$\|Kf\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |(Kf)(x)| \le M_k \cdot \|f\|_\infty$$

Esto demuestra que $K$ es acotado (y por ende continuo) con constante $M_k$.
Por lo tanto, la norma del operador satisface:

$$\|K\| \le \max_{x \in [0,1]} \int_0^1 |k(x,y)|\,dy$$

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