G6-E10

[!infobox] Continuidad y Norma de Funcionales en $C([0,1])$ Contexto: Análisis Funcional / Espacios de Banach / Dualidad Enunciado: Analizar la continuidad y calcular la norma de los funcionales lineales:

1. $\mathcal{E}: C([0,1]) \to \mathbb{R}$ dada por $\mathcal{E}f = f(0)$ (Evaluación).
2. $\mathcal{I}: C([0,1]) \to \mathbb{R}$ dada por $\mathcal{I}f = \int_0^1 f(x)\,dx$ (Integración). Se debe analizar en dos contextos: con la norma infinito $(\|\cdot\|_\infty)$ y con la norma uno $(\|\cdot\|_1)$. Advertencia/Clave:

• Para probar que $\|T\| = C$, usamos la estrategia del "Doble Juego":
  1. Cota Superior: Probamos $\|Tf\| \le C\|f\|$ para todo $f \implies \|T\| \le C$.
  2. Cota Inferior: Encontramos una $f_0$ tal que $|Tf_0| = C\|f_0\| \implies \|T\| \ge C$.
• La evaluación puntual no es continua en normas integrales ($L^p$) porque se puede modificar el valor en un punto sin afectar el área (la norma).

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Caso 1: Funcional de Evaluación $\mathcal{E}(f) = f(0)$

Subcaso 1.a: Espacio con Norma Infinito $(C([0,1]), \|\cdot\|_\infty)$

Queremos probar que $\mathcal{E}$ es continua y $\|\mathcal{E}\| = 1$.

1. Acotación (Búsqueda de Cota Superior): Sea $f \in C([0,1])$ arbitraria.

$$|\mathcal{E}f| = |f(0)|$$

Por definición de la norma supremo, $\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$.
Dado que $0 \in [0,1]$, el valor en ese punto es menor o igual al supremo en todo el intervalo:

$$|f(0)| \le \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| = \|f\|_\infty$$

Hemos probado que $|\mathcal{E}f| \le 1 \cdot \|f\|_\infty$.
$\implies \mathcal{E}$ es un operador acotado (continuo) y su norma cumple:

$$\|\mathcal{E}\| \le 1 \quad (*)$$

2. Alcanzabilidad (Búsqueda de Cota Inferior): Para probar que la norma no es menor que 1, buscamos una función específica que no pierda tamaño al ser evaluada. Sea $g(x) = 1$ (la función constante 1).
   • Evaluación: $|\mathcal{E}g| = |1| = 1$.
   • Norma: $\|g\|_\infty = \sup |1| = 1$. El cociente de estiramiento es $\frac{|\mathcal{E}g|}{\|g\|_\infty} = 1$. Por definición de norma como supremo de cocientes:

$$\|\mathcal{E}\| \ge 1 \quad (**)$$

3. Conclusión: De $(*)$ y $(**)$ se deduce que $\|\mathcal{E}\| = 1$.

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Subcaso 1.b: Espacio con Norma Uno $(C([0,1]), \|\cdot\|_1)$

Queremos probar que $\mathcal{E}$ no es continua. Para ello, debemos exhibir una sucesión de funciones $\{f_n\}$ cuya área (norma) tienda a 0 o sea acotada, pero cuya evaluación en 0 tienda a infinito.

1. Construcción de la Sucesión ("Picos"): Definimos para cada $n \in \mathbb{N}$ la función:

$$f_n(x) = \max\{0, n - n^2 x\}$$

*Justificación de continuidad:* La función es lineal decreciente desde $(0,n)$ hasta $(1/n, 0)$ y luego constante $0$. Al ser composición de funciones continuas (polinomios y máximo), $f_n \in C([0,1])$.

2. Cálculo de la Norma (Área):

$$\|f_n\|_1 = \int_0^1 |f_n(x)| \, dx = \int_0^{1/n} (n - n^2 x) \, dx$$

Geométricamente, es el área de un triángulo de base $1/n$ y altura $n$:

$$\|f_n\|_1 = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{(1/n) \cdot n}{2} = \frac{1}{2}$$

3. Evaluación de la Funcional:

$$\mathcal{E}(f_n) = f_n(0) = n - n^2(0) = n$$

4. Prueba de No Acotación: Si $\mathcal{E}$ fuera acotada, existiría $C$ tal que $|\mathcal{E}f| \le C\|f\|_1$. Verificamos el cociente para nuestra sucesión:

$$\frac{|\mathcal{E}(f_n)|}{\|f_n\|_1} = \frac{n}{1/2} = 2n$$

Tomando el límite cuando $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} 2n = +\infty$$

Esto demuestra que no existe ninguna constante $C$ que acote al operador.
$\therefore \mathcal{E}$ no es continua en norma 1.

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Caso 2: Funcional de Integral $\mathcal{I}(f) = \displaystyle\int_0^1 f(x) dx$

Subcaso 2.a: Espacio con Norma Infinito $(C([0,1]), \|\cdot\|_\infty)$

Queremos probar que $\mathcal{I}$ es continua y $\|\mathcal{I}\| = 1$.

1. Acotación (Cota Superior): Sea $f \in C([0,1])$. Usamos la propiedad de "Desigualdad Triangular para Integrales":

$$|\mathcal{I}f| = \left| \int_0^1 f(x) \, dx \right| \le \int_0^1 |f(x)| \, dx$$

Usamos la relación puntual $|f(x)| \le \|f\|_\infty$ para todo $x$:

$$\int_0^1 |f(x)| \, dx \le \int_0^1 \|f\|_\infty \, dx$$

Como $\|f\|_\infty$ es una constante respecto a la integral:

$$= \|f\|_\infty \cdot \int_0^1 dx = \|f\|_\infty \cdot (1 - 0) = \|f\|_\infty$$

Hemos probado que $|\mathcal{I}f| \le 1 \cdot \|f\|_\infty$.
$\implies \|\mathcal{I}\| \le 1 \quad (*)$.

2. Alcanzabilidad (Cota Inferior): Tomamos la función constante $g(x) = 1$. * Funcional: $\mathcal{I}g = \displaystyle\int_0^1 1 \, dx = 1$. * Norma: $\|g\|_\infty = 1$. Cociente: $1/1 = 1$. $\implies \|\mathcal{I}\| \ge 1 \quad (**)$.

3. Conclusión: $\|\mathcal{I}\| = 1$.

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Subcaso 2.b: Espacio con Norma Uno $(C([0,1]), \|\cdot\|_1)$

Queremos probar que $\mathcal{I}$ es continua y $\|\mathcal{I}\| = 1$.

1. Acotación (Cota Superior): Sea $f \in C([0,1])$.

$$|\mathcal{I}f| = \left| \int_0^1 f(x) \, dx \right| \le \int_0^1 |f(x)| \, dx$$

Observamos que el término de la derecha $\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx$ es **exactamente la definición** de la norma uno $\|f\|_1$.

$$|\mathcal{I}f| \le 1 \cdot \|f\|_1$$

Esto implica inmediatamente que $\mathcal{I}$ es acotada y:

$$\|\mathcal{I}\| \le 1 \quad (*)$$

2. Alcanzabilidad (Cota Inferior): Necesitamos una función donde el valor absoluto de la integral sea igual a la integral del valor absoluto. Cualquier función no negativa sirve. Sea $g(x) = 1$.
   • Funcional: $|\mathcal{I}g| = |\int 1| = 1$.
   • Norma: $\|g\|_1 = \int |1| = 1$.

$$\|\mathcal{I}\| \ge \frac{|\mathcal{I}g|}{\|g\|_1} = 1 \quad (**)$$

3. Conclusión: $\|\mathcal{I}\| = 1$. $\blacksquare$