G5-Ej.3

[!infobox] Ejercicio: Compacidad de Sumas y Productos Hipótesis: $K \subseteq \mathbb{R}$ es compacto. Conjuntos:

Suma: $S = \{ x+y : x,y \in K \}$

Producto: $P = \{ x \cdot y : x,y \in K \}$ Tesis: $S$ y $P$ son compactos.

Demostración (Vía Secuencial)

1. Para la Suma ( $S$ )

Sea $(s_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq S$ una sucesión arbitraria en el conjunto suma. Por definición del conjunto $S$ , para cada término $s_n$ existen $x_n, y_n \in K$ tales que:

s_n = x_n + y_n

Paso 1: Primera subsucesión (Controlando $x$ ) Consideramos la sucesión $(x_n) \subseteq K$ . Como $K$ es compacto, existe una subsucesión $(x_{n_k})$ tal que:

x_{n_k} \longrightarrow x \in K

Paso 2: Segunda subsucesión (Controlando $y$ ) Ahora miramos los términos $y_{n_k}$ correspondientes a esos índices seleccionados. Esta es una sucesión en $K$ . Como $K$ es compacto, existe una subsucesión de la subsucesión $(y_{n_{k_j}})$ tal que:

y_{n_{k_j}} \longrightarrow y \in K

Paso 3: Convergencia conjunta Ahora volvemos a mirar los términos $x$ . La subsucesión $(x_{n_{k_j}})$ es una parte de la convergente $(x_{n_k})$ , por lo tanto, converge al mismo límite:

x_{n_{k_j}} \longrightarrow x

Por álgebra de límites (suma), la subsucesión de la suma original converge:

s_{n_{k_j}} = x_{n_{k_j}} + y_{n_{k_j}} \longrightarrow x + y

Paso 4: Pertenencia Como $x \in K$ y $y \in K$ , por definición del conjunto $S$ , el elemento $x+y \in S$ . Hemos encontrado una subsucesión de $(s_n)$ que converge a un elemento de $S$ . $\therefore S$ es compacto.

2. Para el Producto ( $P$ )

La demostración es idéntica a la anterior.

Sea $(p_n) \subseteq P$ , entonces $p_n = x_n \cdot y_n$ .
Extraemos subsucesión $(x_{n_k}) \to x \in K$ .
Extraemos subsucesión de la subsucesión $(y_{n_{k_j}}) \to y \in K$ .
Por álgebra de límites (producto):

p_{n_{k_j}} = x_{n_{k_j}} \cdot y_{n_{k_j}} \longrightarrow x \cdot y

Como $x,y \in K$ , entonces $x \cdot y \in P$ .

$\therefore P$ es compacto.

[!done] Q.E.D.

[!abstract] Teorema: Compacidad de Operaciones Algebraicas (Enfoque Topológico) Contexto: Topología de $\mathbb{R}^n$ / Funciones Continuas. Herramienta Clave: "La imagen continua de un conjunto compacto es compacta". Prerrequisito: Si $K \subseteq \mathbb{R}$ es compacto, entonces $K \times K \subseteq \mathbb{R}^2$ es compacto.

Demostración

Sean los conjuntos:

S = \{ x+y : x,y \in K \} \quad \text{y} \quad P = \{ x \cdot y : x,y \in K \}

Podemos reescribir estos conjuntos como imágenes de funciones definidas sobre el producto cartesiano $K \times K$ .

Paso 1: Compacidad del Dominio

Como $K \subseteq \mathbb{R}$ es un conjunto compacto: El conjunto producto $K \times K = \{ (x,y) : x \in K, y \in K \}$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^2$ (Teorema de Tychonoff finito o simplemente porque es cerrado y acotado en la métrica euclídea).

Paso 2: Continuidad de las Operaciones

Definimos las funciones suma y producto desde $\mathbb{R}^2$ hacia $\mathbb{R}$ :

$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $f(x,y) = x+y$
$g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $g(x,y) = x \cdot y$

Sabemos por cálculo multivariable que tanto la suma como el producto son funciones continuas en todo su dominio.

Paso 3: Imagen Continua de un Compacto

Observamos que los conjuntos $S$ y $P$ son exactamente las imágenes de $K \times K$ bajo estas funciones:

S = f(K \times K)

P = g(K \times K)

Aplicamos el teorema fundamental:

"Si $C$ es compacto y $\phi$ es continua, entonces $\phi(C)$ es compacto."

Conclusión: Dado que $K \times K$ es compacto y $f, g$ son continuas $\implies$ $S$ y $P$ son conjuntos compactos en $\mathbb{R}$ .