G5-Ej.12b

[!infobox] Teorema: Continuidad Uniforme con Límites Nulos Contexto: Análisis Real / Continuidad Uniforme. Enunciado: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua tal que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$. Entonces, $f$ es uniformemente continua en todo $\mathbb{R}$. Clave: Se utiliza la técnica de partición del dominio: control por acotación en las "colas" y Teorema de Heine-Cantor en un compacto ampliado.

Demostración Rigurosa

Sea $\epsilon > 0$ arbitrario. Debemos encontrar $\delta > 0$ tal que para todo $x, y \in \mathbb{R}$, si $|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon$.

1. Control en el infinito (Acotación) Por hipótesis, $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$. Por definición de límite, existe un $K > 0$ suficientemente grande tal que:

$$|x| \ge K \implies |f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$$

2. Control en el compacto (Heine-Cantor) Consideremos el intervalo cerrado y acotado $I = [-K-1, K+1]$. Dado que $f$ es continua en $\mathbb{R}$, es continua en $I$. Como $I$ es un conjunto compacto, por el Teorema de Heine-Cantor, $f$ es uniformemente continua en $I$. Por tanto, existe un $\delta_1 > 0$ tal que para todo $u, v \in I$:

$$|u - v| < \delta_1 \implies |f(u) - f(v)| < \epsilon$$

3. Elección del $\delta$ global Definimos $\delta = \min\{1, \delta_1\}$. Sean $x, y \in \mathbb{R}$ tales que $|x - y| < \delta$. Analizamos los casos posibles:

• Caso A: Al menos uno de los puntos está en $[-K, K]$. Supongamos sin pérdida de generalidad que $x \in [-K, K]$. Como $|x - y| < \delta \le 1$, la distancia máxima de $y$ al origen es:

$$|y| \le |x| + |y - x| < K + 1$$

Esto implica que tanto $x$ como $y$ pertenecen al intervalo ampliado $I = [-K-1, K+1]$.
Aplicando la continuidad uniforme en $I$ (Paso 2):

$$|f(x) - f(y)| < \epsilon$$

• Caso B: Ninguno de los puntos está en $[-K, K]$. Esto significa que $|x| > K$ y $|y| > K$. Ambos puntos están en las "colas" de la función. Aplicando la cota del Paso 1 y la desigualdad triangular:

$$|f(x) - f(y)| \le |f(x)| + |f(y)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Conclusión: En cualquiera de los casos, se cumple que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$. $\blacksquare$