G5-Ej.12

Recordar:Recordar: Si ff no es uniformemente continua   ⟹   ∃ E>0,(xn)n∈N,(yn)n∈N\implies \:\exists\:\mathcal{E}>0,( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} tal que d(xn,yn)⟶0d(x_{n},y_{n})\longrightarrow0 y d(f(xn),f(yn))≥Ed(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq\mathcal{E}

Supongo que no es uniformemente continua. Entonces existen E>0,(xn)\mathcal{E}>0,(x_{n}) e (yn)⊆R∣∣xn−yn∣→0(y_{n})\subseteq \mathbb{R}\bigm||x_{n}-y_{n}|\to 0 pero ∣f(xn)−f(yn)∣≥E|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq\mathcal{E}

Caso 1: (xn)(x_{n}) acotada.

  ⟹  (yn) tambien acotada.\implies (y_{n})\text{ tambien acotada.}

Quiero ver que  ∃ M∈R∣∣yn∣<M∀n∈N\:\exists\:M\in \mathbb{R}\bigm||y_{n}|<M\quad\forall n\in \mathbb{N}

Como (xn)(x_{n}) acotada existe N∈R∣∣xn∣<N∀n∈NN\in \mathbb{R}\bigm||x_{n}|<N\quad\forall n \in \mathbb{N} Como ∣xn−yn∣→0, ∃ n0∈N∣n≥n0  ⟹  ∣xn−yn∣<1|x_{n}-y_{n}|\to 0,\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\bigm|n\geq n_{0}\implies |x_{n}-y_{n}|<1 Si n≥n0n\geq n_{0}

∣yn∣=d(yn,0)≤d(yn,xn)+d(xn,0)=∣yn−xn∣+∣xn∣<N+1|y_{n}|=d(y_{n},0)\leq d(y_{n},x_{n})+d(x_{n},0)=|y_{n}-x_{n}|+|x_{n}|<N+1

Tomo

M=max{∣y1∣,∣y2∣,..,∣yn0−1∣,N+1}M=max\{ |y_{1}|,|y_{2}|,..,|y_{n_{0}-1}|,N+1 \}

Luego ∣yn∣<M∀n∈N|y_{n}|<M\quad\forall n\in \mathbb{N}

Por otro lado, por Bolzano-Weierstrass Si (xn)⊆R(x_{n})\subseteq \mathbb{R} acotada en R\mathbb{R}   ⟹   ∃ (xnk)\implies \:\exists\:(x_{n_{k}}) convergente a un x∈Rx \in \mathbb{R}.

Obs:Obs: Si (ynk)(y_{n_{k}}) subsucesión de (yn)(y_{n})   ⟹  \implies ∣xnk−ynk∣→0|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\to 0 y ynk→xy_{n_{k}}\to x
Como ff continua  ∃ n,k1,k2∈N∣\:\exists\:n,k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}\bigm|

∣f(xnk)−f(x)∣<E2k≥k1|f(x_{n_{k}})-f(x)|< \frac{\mathcal{E}}{2}\quad k\geq k_{1} ∣f(ynk)−f(x)∣<E2k≥k2|f(y_{n_{k}})-f(x)|< \frac{\mathcal{E}}{2}\quad k\geq k_{2}

Si k≥max{k1,k2}k\geq max\{ k_{1},k_{2} \}

∣f(xnk)−f(ynk)∣≤E2+E2|f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|\leq \frac{\mathcal{E}}{2}+\frac{\mathcal{E}}{2}

Absurdo.

Caso 2: (xn)(x_{n}) no acotada.

  • Caso 2.1: No es acotada superiormente. Por ejercicio 13 practica 1:  ∃ xnk→+∞\:\exists\:x_{n_{k}}\to+\infty Afirmo que ynk→+∞y_{n_{k}}\to +\infty

Sea M>0,M>0, quiero ver que  ∃ k0∈N∣k≥k0  ⟹  ynk>M\:\exists\:k_{0}\in \mathbb{N}\bigm|k\geq k_{0}\implies y_{n_{k}}>M

Como xnk⟶+∞ ∃ k1∈N∣xnk>M+1x_{n_{k}}\longrightarrow+\infty \:\exists\:k_{1}\in \mathbb{N}\bigm|x_{n_{k}}>M+1 y como ∣xnk−ynk∣⟶0  ⟹   ∃ k2∈N∣|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\longrightarrow 0\implies \:\exists\:k_{2}\in \mathbb{N}\bigm| ∣xnk−ynk∣<1∀k≥k2|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|<1\quad\forall k\geq k_{2} Considero k0=max{k1,k2}k_{0}=max\{ k_{1},k_{2} \}

  ⟹  ∣ynk∣≥∣xnk∣−∣xnk−ynk∣>M+1−1=M∀k≥k0\implies |y_{n_{k}}|\geq |x_{n_{k}}|-|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|>M+1-1=M\quad\forall k\geq k_{0}

[!infobox] Teorema: Continuidad Uniforme con Límites Nulos (Vía Sucesiones) Contexto: Análisis Real / Sucesiones y Bolzano-Weierstrass. Enunciado: Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} continua tal que lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0. Entonces ff es uniformemente continua. Clave: Demostración por absurdo. Si no fuera U.C., existirían sucesiones próximas con imágenes separadas. Separamos en caso acotado (Bolzano-Weierstrass) y no acotado (Límites al infinito).

Demostración Formal

Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que ff no es uniformemente continua. Entonces existe un E>0\mathcal{E} > 0 y existen dos sucesiones (xn)n∈N,(yn)n∈N⊆R(x_n)_{n \in \mathbb{N}}, (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} tales que:

  1. ∣xn−yn∣→0|x_n - y_n| \to 0 cuando n→∞n \to \infty.
  2. ∣f(xn)−f(yn)∣≥E|f(x_n) - f(y_n)| \geq \mathcal{E} para todo n∈Nn \in \mathbb{N}.

Analizamos el comportamiento de la sucesión (xn)(x_n):

Caso 1: (xn)(x_n) es acotada

Si (xn)(x_n) es acotada, por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión (xnk)(x_{n_k}) convergente a un punto x0∈Rx_0 \in \mathbb{R}.

xnk→x0x_{n_k} \to x_0

Veamos qué pasa con la subsucesión correspondiente (ynk)(y_{n_k}):

∣ynk−x0∣≤∣ynk−xnk∣+∣xnk−x0∣|y_{n_k} - x_0| \leq |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_0|

Como ambos términos de la derecha tienden a 0, concluimos que ynk→x0y_{n_k} \to x_0.

Por la continuidad de ff en el punto x0x_0:

lim⁡k→∞∣f(xnk)−f(ynk)∣=∣f(x0)−f(x0)∣=0\lim_{k \to \infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = |f(x_0) - f(x_0)| = 0

Esto contradice la hipótesis de que ∣f(xnk)−f(ynk)∣≥E>0|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geq \mathcal{E} > 0. (Absurdo).

Caso 2: (xn)(x_n) no es acotada

Si (xn)(x_n) no es acotada, admite una subsucesión que diverge a +∞+\infty o a −∞-\infty (Ejercicio de práctica: toda sucesión no acotada tiene una subsucesión monótona divergente). Supongamos sin pérdida de generalidad (el caso −∞-\infty es análogo) que existe una subsucesión tal que:

xnk→+∞x_{n_k} \to +\infty

Paso 2.1: Comportamiento de (ynk)(y_{n_k}) Probamos que ynk→+∞y_{n_k} \to +\infty. Dado que ∣xn−yn∣→0|x_n - y_n| \to 0, para kk suficientemente grande, ∣xnk−ynk∣<1|x_{n_k} - y_{n_k}| < 1.

ynk=xnk+(ynk−xnk)≥xnk−∣ynk−xnk∣>xnk−1y_{n_k} = x_{n_k} + (y_{n_k} - x_{n_k}) \geq x_{n_k} - |y_{n_k} - x_{n_k}| > x_{n_k} - 1

Tomando límite cuando k→∞k \to \infty, como xnk→+∞x_{n_k} \to +\infty, entonces ynk→+∞y_{n_k} \to +\infty.

Paso 2.2: Contradicción con los límites de la función Por hipótesis del enunciado, sabemos que lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. Aplicando esto a nuestras sucesiones divergentes:

lim⁡k→∞f(xnk)=0ylim⁡k→∞f(ynk)=0\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = 0

Por lo tanto:

lim⁡k→∞∣f(xnk)−f(ynk)∣=∣0−0∣=0\lim_{k \to \infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = |0 - 0| = 0

Nuevamente, esto contradice que ∣f(xnk)−f(ynk)∣≥E|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geq \mathcal{E}. (Absurdo).

Conclusión: La suposición inicial es falsa. Por lo tanto, ff es uniformemente continua en R\mathbb{R}. ■\blacksquare