G5-Ej.10

Resuelto en teórica 12 2C2024: Avanzado-Teórica 12 - Compacidad I

[!infobox] Contraejemplo: La Bola Unitaria en Dimensión Infinita Contexto: Espacios Métricos / Análisis Funcional ($C[0,1]$). Enunciado: Sea $E = (C[0,1], d_\infty)$. La bola cerrada unitaria $K = \overline{B(0,1)}$ es un conjunto cerrado y acotado, pero no es compacto. Advertencia: Esto demuestra que el Teorema de Heine-Borel no es válido en espacios de dimensión infinita.

Demostración Formal

Recordemos que en un espacio métrico, un conjunto $K$ es compacto si y solo si es secuencialmente compacto (toda sucesión en $K$ admite una subsucesión convergente a un punto de $K$).

Procederemos por el absurdo, exhibiendo una sucesión $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K$ que no admite ninguna subsucesión convergente.

1. Construcción de la sucesión con soportes disjuntos Para cada $n \in \mathbb{N}$, definimos el intervalo $I_n = [ \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n} ]$. Notemos que $I_n \cap I_m = \emptyset$ si $n \neq m$.

Definimos $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ como una función continua "pico" tal que:

• $f_n(x) = 0$ si $x \notin I_n$.
• $f_n(c_n) = 1$, donde $c_n$ es el punto medio de $I_n$.
• $f_n$ es lineal en el resto de $I_n$ (formando un triángulo).

Claramente $f_n$ es continua y $\max_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = 1$. Por lo tanto, $d_\infty(f_n, 0) = 1$, lo que implica que $f_n \in \overline{B(0,1)}$ para todo $n$.

2. Análisis de la distancia entre términos Sean $n, m \in \mathbb{N}$ con $n \neq m$. Evaluamos la distancia del supremo:

$$d_\infty(f_n, f_m) = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f_m(x)|$$

Consideremos el punto $c_n$ (donde $f_n$ alcanza su máximo).

• $f_n(c_n) = 1$ (por construcción).
• Como los soportes son disjuntos y $c_n \in I_n$, entonces $c_n \notin I_m$.
• Esto implica que $f_m(c_n) = 0$.

Evaluando la diferencia en este punto:

$$|f_n(c_n) - f_m(c_n)| = |1 - 0| = 1$$

Por definición de supremo, $d_\infty(f_n, f_m) \geq 1$. (De hecho, es exactamente 1 porque las funciones están acotadas por 1).

3. Argumento de no convergencia Supongamos que $K$ es compacto. Entonces, la sucesión $(f_n)$ debería tener una subsucesión $(f_{n_k})$ convergente. Si una subsucesión converge, necesariamente es una sucesión de Cauchy. Esto implica que para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que si $k, j \geq N$, entonces $d_\infty(f_{n_k}, f_{n_j}) < \epsilon$.

Sin embargo, hemos demostrado en el paso 2 que para cualquier par de índices distintos:

$$d_\infty(f_{n_k}, f_{n_j}) = 1$$

Si tomamos $\epsilon = 1/2$, llegamos a una contradicción, ya que $1 \not< 1/2$.

Conclusión: La sucesión $(f_n)$ no tiene subsucesiones convergentes, por lo tanto, $\overline{B(0,1)}$ no es compacto. $\blacksquare$

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[!infobox] Ejemplo: Incompletitud de $(C[0,1], d_1)$ Contexto: Espacios Métricos / Análisis Real. Enunciado: La sucesión de funciones $f_n(x) = x^n$ es de Cauchy con la métrica integral $d_1$, pero su límite puntual es discontinuo. Consecuencia: El espacio $(C[0,1], d_1)$ no es completo, ya que existe una sucesión de Cauchy que no converge a un elemento del espacio (no converge a una función continua).

Demostración Formal

Consideremos la sucesión $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $f_n(x) = x^n$ en el intervalo $[0,1]$.

1. Prueba de que $(f_n)$ es de Cauchy en $d_1$ Sea $\epsilon > 0$. Queremos ver que $d_1(f_n, f_m) < \epsilon$ para $n, m$ suficientemente grandes. Asumimos sin pérdida de generalidad que $m > n$.

$$d_1(f_n, f_m) = \int_0^1 |x^n - x^m| \, dx$$

Dado que $x \in [0,1]$ y $m > n$, se tiene que $x^m \leq x^n$, por lo que $|x^n - x^m| = x^n - x^m$.

$$d_1(f_n, f_m) = \int_0^1 (x^n - x^m) \, dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{m+1}}{m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{m+1}$$

Como $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$, $\frac{1}{n+1} < \epsilon$. Entonces, para todo $m > n > N$:

$$d_1(f_n, f_m) < \frac{1}{n+1} < \epsilon$$

Por lo tanto, $(f_n)$ es una sucesión de Cauchy.

2. Prueba de que el límite puntual es discontinuo Definimos la función límite puntual $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$. Evaluamos punto a punto:

• Si $x \in [0, 1)$: Sabemos que si $|r| < 1$, entonces $\lim r^n = 0$.

$$f(x) = 0$$

• Si $x = 1$: Tenemos que $f_n(1) = 1^n = 1$ para todo $n$.

$$f(1) = 1$$

La función límite es:

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$$

Esta función $f$ presenta una discontinuidad inevitable en $x=1$ (el límite por izquierda es 0, pero el valor de la función es 1). Como $f \notin C[0,1]$, la sucesión de Cauchy no converge dentro del espacio métrico. $\blacksquare$