G4-Ej.16

Sea $f\colon (E,d)\to(E',d')$ uniformemente continua, y $A,B\subset E$ no vacíos con $d(A,B)=0$. Recordemos

$$d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,\;b\in B\}, \qquad d'\bigl(f(A),f(B)\bigr)=\inf\{d'(f(a),f(b)):a\in A,\;b\in B\}.$$

1. Tomemos un $\varepsilon>0$.

2. Por uniform continuidad de $f$, existe $\delta>0$ tal que

$$d(x,y)<\delta \quad\Longrightarrow\quad d'\bigl(f(x),f(y)\bigr)<\varepsilon \quad\forall x,y\in E.$$

3. Como $d(A,B)=0$, existe algún par $(a,b)\in A\times B$ con

$$d(a,b)<\delta.$$

4. Entonces

$$d'\bigl(f(a),f(b)\bigr)<\varepsilon.$$

5. Por definición del ínfimo,

$$d'\bigl(f(A),f(B)\bigr) =\inf\{d'(f(x),f(y)):x\in A,y\in B\} \le d'\bigl(f(a),f(b)\bigr) <\varepsilon.$$

6. Como esto vale para todo $\varepsilon>0$, concluimos

$$d'\bigl(f(A),f(B)\bigr)=0.$$