G3-Ej.11

Sea $(E, d)$ un espacio métrico. Dados $A \subseteq E$ no vacío y $x \in E$, se define la distancia de $x$ a $A$ como

$$d(x, A) = \inf\{d(x, a) : a \in A\}.$$

Probar que para todos $x, y \in E$ y $r > 0$:

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(a)

$$|d(x, A) - d(y, A)| \leq d(x, y).$$

Como $d(x,A)$ es cota inferior del conjunto $S=\{ d(x,a):a\in A \}\implies d(x,A)\leq d(x,a)\quad\forall a\in A$ Same para $y:d(y,A)\leq d(y,a)\quad\forall a\in A$ Por la propiedad de equivalencia 1 de ínfimos:

$$\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:a\in A\:|\: d(x,a)<d(x,A)+\mathcal{E}$$

Tengo entonces:

$$d(x,A)\leq d(x,a)< d(x,A)+\mathcal{E}\ \tag{1}$$

Quiero llegar a lo que quiero probar, a partir de $d(y,A)$:

$$\begin{array}{c} d(y,A)\underset{d(y,A)=inf(S)}{\leq }d(y,a)\underset{\text{Desigualdad triang.}}{\leq }d(y,x)+d(x,a) \underset{(1)}{<}d(y,x)+d(x,A)+\mathcal{E} \\ \underset{\text{Por Ej.1 G1}}{\implies}d(y,A)\leq d(x,y)+d(x,A) \\ d(y,A)-d(x,A)\leq d(x,y)\quad (*) \end{array}$$

Análogamente (usando desigualdad triang. a partir de $d(x,A)$) obtengo:

$$\begin{array}{c} d(x,A)\leq d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)<d(x,y)+d(y,A)+\mathcal{E} \\ \implies d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A) \\ \implies d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)\quad (**) \end{array}$$

Juntando $(*)$ y $(**)$ llegamos a lo que queríamos probar pues:

$$|d(x, A) - d(y, A)| \leq d(x, y)=\begin{cases} d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y) & \text{Esto es (**)} \\ d(y,A)-d(x,A)\leq d(x,y) & \text{Esto es (*)} \end{cases}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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(b)

$$x \in A \implies d(x, A) = 0.$$

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(c)

$$d(x, A) = 0 \iff x \in \overline{A}.$$

Sea $(X,d)$ un espacio métrico, $A \subseteq X$ y $x \in X$.

Definiciones:

• Distancia de un punto a un conjunto:

$$d(x,A) := \inf\{ d(x,a) : a \in A \}.$$

• Clausura de un conjunto: $x \in \overline{A}$ si existe una sucesión $(a_n) \subseteq A$ tal que $a_n \to x$.

(⇒) Si $x \in \overline{A}$ entonces $d(x,A)=0$

1. Como $x \in \overline{A}$, existe una sucesión $(a_n) \subseteq A$ que converge a $x$:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = x.$$

2. Por definición de convergencia:

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies d(a_n, x) < \varepsilon.$$

3. Como $d(x,A) \le d(a_n,x)$ para todo $n$, y $d(a_n,x) \to 0$, se tiene:

$$d(x,A) = 0.$$

(⇐) Si $d(x,A)=0$ entonces $x \in \overline{A}$

1. Supongamos $d(x,A) = 0$. Por definición de ínfimo:

$$\forall \varepsilon > 0, \exists a \in A \text{ tal que } d(x,a) < \varepsilon.$$

2. Construimos una sucesión $(a_n) \subseteq A$:

• Tomamos $\varepsilon = 1$: existe $a_1 \in A$ con $d(x,a_1)<1$
• Tomamos $\varepsilon = 1/2$: existe $a_2 \in A$ con $d(x,a_2)<1/2$
• Tomamos $\varepsilon = 1/3$: existe $a_3 \in A$ con $d(x,a_3)<1/3$
• Y así sucesivamente, definiendo $a_n \in A$ con $d(x,a_n)<1/n$

3. Por construcción:

$$d(a_n, x) < \frac{1}{n} \implies \lim_{n \to \infty} a_n = x.$$

4. Por la caracterización secuencial de la clausura:

$$x \in \overline{A}.$$

Observación:
Si $A$ es cerrado, entonces $\overline{A} = A$, y se obtiene:

$$d(x,A) = 0 \iff x \in A.$$

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(d)

$$B_A(r) = \{x \in E : d(x, A) < r\}$$

es abierto.

(e)

$$\overline{B_A(r)} = \{x \in E : d(x, A) \leq r\}$$

es cerrado.