G2-E2

2. Sea A y B conjuntos contables. Probar que A $\cup$ B es contable.

A contable $\implies \exists f: A \to \mathbb{N}$ inyectiva. B contable $\implies \exists g: B \to \mathbb{N}$ inyectiva.

Se define $h: A \cup B \to \mathbb{N}$ tal que:

$$h(x)= \begin{cases} f(x) & si~x \in A \\ g(x) & si~x \in B \setminus A \\ \end{cases}$$

$h$ es inyectiva:

Sea $x_1, x_2 \in A \cup B: h(x_1)=h(x_2)$

• Caso 1: $x_1, x_2 \in A$ $h(x_1) = f(x_1) = f(x_2) = h(x_2)$ Como $f$ es inyectiva $\implies x_1 = x_2$.

• Caso 2: $x_1, x_2 \in B \setminus A$ Análogamente, $h(x_1) = g(x_1) = g(x_2) = h(x_2)$ Como $g$ es inyectiva $\implies x_1 = x_2$.

• Caso 3: $x_1 \in A$ y $x_2 \in B \setminus A$ Supongamos $h(x_1) = h(x_2)$ Entonces $f(x_1) = g(x_2)$. Pero $x_1 \in A$ y $x_2 \in B \setminus A \implies x_1 \neq x_2$. Por la forma en que está definida $h$, si $f(x_1) = g(x_2)$, no es posible que $x_1 = x_2$. Esto asegura la inyectividad. (Aclaración: el texto original tiene una nota "($A \cap B \setminus A = \emptyset$)", que no es del todo precisa para el argumento directo, pero apunta a la disjuntez de las definiciones de $h$).

Por lo tanto, $h$ es inyectiva.

$$\#(A \cup B) \leq \#\mathbb{N}$$

$\implies A \cup B$ es contable.