G2-E1

Halle el cardinal de los siguientes conjuntos:
(a) Z≤−3\mathbb{Z}_{\leq -3}
(b) 5Z5\mathbb{Z}
(c) Z×N\mathbb{Z} \times \mathbb{N}
(d) (−1,1)∩Q(-1, 1) \cap \mathbb{Q}

Item a)

Afirmo que Z≤−3\mathbb{Z}_{\leq-3} es numerable.

Defino f:N→Z≤−3∣f(n)=−(n+2)f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}_{\leq-3}\bigm|f(n)=-(n+2)

  • ff es inyectiva: Sean n1,n2∈N∣f(n1)=f(n2)n_{1},n_{2} \in \mathbb{N}\bigm|f(n_{1})=f(n_{2}) entonces
f(n1)=f(n2)−(n1+2)=−(n2+2)n1=n2\begin{array}{c} f(n_{1})=f(n_{2}) \\ -(n_{1}+2)=-(n_{2}+2) \\ n_{1}=n_{2} \end{array}

Entonces para todo n1,n2∈N:n_{1},n_{2} \in \mathbb{N}:

f(n1)=f(n2)  ⟹  n1=n2f(n_{1})=f(n_{2})\implies n_{1}=n_{2}

Luego

#Z≤−3≥ℵ0(1)\#\mathbb{Z}_{\leq -3}\geq \aleph_0\tag{1}
  • ff es sobreyectiva: Sea y∈Z≤−3y \in \mathbb{Z}_{\leq-3}, quiero ver que existe n∈N∣f(n)=yn \in \mathbb{N}\bigm|f(n)=y Como y∈Z≤−3  ⟹  y≤−3=−2−1  ⟹  −y−2≥1y \in \mathbb{Z}_{\leq-3}\implies y\leq-3=-2-1\implies -y-2\geq1 Notar que −y−2∈N-y-2 \in \mathbb{N}, luego:
f(−y−2)=−(−y−2)−2=yf(-y-2)=-(-y-2)-2=y

Entonces tengo que ∀y∈Z≤−3 ∃ n∈N∣f(n)=y\forall y \in \mathbb{Z}_{\leq-3}\:\exists\:n \in \mathbb{N}\bigm|f(n)=y, en particular n=−y−2n=-y-2 Por lo tanto ff es sobreyectiva y

#Z≤−3≤ℵ0(2)\#\mathbb{Z}_{\leq -3}\leq \aleph_0\tag{2}

Por (1) y (2) ff es biyectiva y #Z≤−3=ℵ0\#\mathbb{Z}_{\leq-3}=\aleph_0

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Item b)

5⋅Z={5⋅n∣n∈Z}={Todos los enteros divisibles por 5}5\cdot \mathbb{Z}=\{ 5\cdot n\bigm| n \in \mathbb{Z} \}=\{ \text{Todos los enteros divisibles por 5} \}

Defino f:Z→5Z∣f(n)=5nf:\mathbb{Z}\to5\mathbb{Z}\bigm|f(n)=5n

  • ff inyectiva
f(n1)=f(n2)  ⟹  5n1=5n2  ⟹  n1=n2f(n_{1})=f(n_{2})\implies5n_{1}=5n_{2}\implies n_{1}=n_{2}
  • ff sobreyectiva Dado z∈5Zz \in5\mathbb{Z} por definición del conjunto  ∃ n∈Z∣z=5n  ⟹  f(n)=z\:\exists\:n\in \mathbb{Z}\bigm|z=5n\implies f(n)=z

ff resulta ser biyectiva y 5Z∼Z∼N5\mathbb{Z}\sim \mathbb{Z}\sim \mathbb{N}

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Item c)