G1-E8

Prueba usando la definición de límite

(a) lim⁡n→∞3−2nn+1=−2\lim_{n \to \infty} \frac{3 - 2n}{n + 1} = -2.

Dado ε>0\varepsilon>0

∣3−2nn+1−l∣=∣3−2nn+1+2∣=∣3−2n+2n+2n+1∣=∣5n+1∣=5∣n+1∣\left|\frac{3-2n}{n+1}- \mathscr{l}\right|=\left|\frac{3-2n}{n+1} + 2\right|=\left| \frac{3-2n+2n+2}{n+1} \right| =\left| \frac{5}{n+1} \right| =\frac{5}{|n+1|}

Luego existe n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} tal que n0>5ε−1n_{0}>\frac{5}{\varepsilon}-1 pues 5ε−1∈R\frac{5}{\varepsilon}-1\in \mathbb{R} y arquimedianidad. Entonces si n≥n0n\geq n_{0}

∣an−2∣=5∣n+1∣<ε|a_{n}-2|=\frac{5}{|n+1|}<\varepsilon

Por lo tanto lim⁡n→∞an=−2\underset{ n\to \infty }{ \lim }a_{n}=-2

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

(b) lim⁡n→∞sin⁡(n)n=0\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0. Dado ε>0\varepsilon>0 Considero n0>1εn_{0}> \frac{1}{\varepsilon} que existe por arquimedianidad y ε>0\varepsilon>0
Luego, si n≥n0n\geq n_{0}

∣an−l∣=∣sin⁡(n)n−0∣≤∣1n∣=n∈N1n≤1n0<ε|a_{n}-\mathscr{l}|=\left| \frac{\sin(n)}{n}-0 \right| \leq \left| \frac{1}{n} \right| \underset{ n \in \mathbb{N} }{ = } \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n_{0}}<\varepsilon

Como ε\varepsilon era arbitrario, entonces lim⁡n→∞an=0\underset{ n\to \infty }{ \lim }a_{n}=0

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

(c) lim⁡n→∞2n−32n+4=1\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} - 3}{2{^n} + 4} = 1.

Dado ε>0\varepsilon>0

∣an−l∣=∣2n−32n+4−1∣=∣2n−3−2n−42n+4∣=∣−72n+4∣=∣72n+4∣\left| a_{n}-\mathscr{l} \right|=\left| \frac{2^{n} -3}{2{^n}+4} -1\right|=\left| \frac{2^{n} -3-2^{n} -4}{2^{n} +4} \right|=\left| \frac{-7}{2^{n} +4} \right|=\left| \frac{7}{2^{n} +4} \right|

Considero n0n_{0} de esta manera

72n0<ε  ⟺  log⁡2(7ε)<n0\frac{7}{2^{n_{0}} }<\varepsilon \iff \log_{2}\left( \frac{7}{\varepsilon} \right)<n_{0}

Existe por arquimedianidad pues 7ε>0\frac{7}{\varepsilon}>0 y log⁡2(7ε)∈R\log_{2}\left( \frac{7}{\varepsilon} \right)\in \mathbb{R} Luego si n≥n0n\geq n_{0}

72n+4<72n≤72n0<ε\frac{7}{2^{n} +4}<\frac{7}{2^{n} }\leq \frac{7}{2^{n_{0}} }<\varepsilon

Como ε\varepsilon era arbitrario tengo que ∀ε>0 ∃ n0∈N ∣ ∣an−l∣<εn≥n0\forall\varepsilon>0\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}\:|\:|a_{n}-\mathscr{l}|<\varepsilon \quad n\geq n_{0} Por lo tanto

lim⁡n→∞an=1\underset{ n\to \infty }{ \lim } a_{n}=1 □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square