G1-E10

Si (xn)n∈N( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}} e (yn)n∈N( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} son sucesiones de números reales tales que (xn)n∈N( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}} converge a 00 e (yn)n∈N( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} está acotada, probar que (xn⋅yn)n∈N( x_{n}\cdot y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} converge a 00.

Dem:Dem: Como (xn)n∈N( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}} converge a 00 entonces

∀ε>0 ∃ n1∈N:∣xn∣<ε∀n≥n1(1)\forall\varepsilon>0\:\exists\:n_{1}\in \mathbb{N}:|x_{n}|<\varepsilon \quad \forall n\geq n_{1}\tag{1}

Como (yn)n∈N( y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} está acotada, entonces

 ∃ M>0:∣yn∣<M∀n∈N(2)\:\exists\:M>0:|y_{n}|<M\quad \forall n\in \mathbb{N}\tag{2}

Dado ε>0\varepsilon>0, considero n0n_{0} (existe por 1) tal que

∣xn−0∣=∣xn∣<εM∀n≥n0|x_{n}-0|=|x_{n}|<\frac{\varepsilon}{M}\quad \forall n\geq n_{0}

Luego, si n≥n0:n\geq n_{0}:

∣xn⋅yn∣=∣xn∣∣yn∣<εM⋅∣yn∣<εM⋅M=ε|x_{n}\cdot y_{n}|=|x_{n}||y_{n}|<\frac{\varepsilon}{M}\cdot |y_{n}|<\frac{\varepsilon}{\cancel{ M }}\cdot \cancel{ M }=\varepsilon

Como ε\varepsilon era arbitrario, tengo que ∀ε>0, ∃ n0∈N\forall\varepsilon>0,\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N} tal que:

∣xn⋅yn−0∣<ε∀n≥n0|x_{n}\cdot y_{n}-0|<\varepsilon \quad \forall n\geq n_{0}

Por lo tanto la sucesión (xn⋅yn)n∈N( x_{n}\cdot y_{n} )_{n \in \mathbb{N}} converge a 00.

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square