[!infobox] Examen Final - Análisis Avanzado Contexto: Evaluación Universitaria Fecha: 22/12/2025 Temas: Topología en $\mathbb{R}$, Espacios Métricos, Compacidad, Sucesiones de Funciones, $\sigma$-álgebras.

Enunciados del Examen

1. (1 punto): Sea $A \subset \mathbb{R}$. Mostrar que si $A$ es acotado, entonces existe una sucesión $(a_n)_n \subset A$ tal que $a_n \to \inf(A)$.

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2. (1 punto): Sean $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ conjuntos numerables. Mostrar que el conjunto $A = \{(a_n)_n : a_i \in A_i \ \forall i \in \mathbb{N}\}$ es numerable.

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3. (1,5 puntos): Sea $(E,d)$ un espacio métrico y sea $M \subset E$.

• Mostrar que $\overline{M} = M \cup M'$ ($M'$ es el conjunto derivado) y que $\overline{M} = M \cup \partial M$.
• Dar un ejemplo de un espacio métrico $(E,d)$ y de un subconjunto $M \subset E$ tal que $M' \neq \partial M$.

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4. (2 puntos): Sean $(E,d)$ y $(E',d')$ espacios métricos y $f,g : (E,d) \to (E',d')$ dos funciones continuas. Mostrar que si existe un conjunto denso $D \subset E$ tal que $f(x) = g(x) \ \forall x \in D$, entonces $f = g$.

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5. (1,5 puntos): Sea $(E,d)$ un espacio métrico y $K \subset E$ un conjunto.

• Mostrar que si $K$ es compacto, entonces es cerrado y acotado.
• Si $K$ es cerrado y acotado, ¿Es compacto?

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6. (2 puntos): Considere las funciones $f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$ y tome la sucesión $(f_n)_n$.

• Mostrar que la sucesión $(f_n)_n \subset (C[0,1], d_\infty)$ converge a $0$.
• Mostrar que la sucesión $(f_n)_n \subset (C_b, d_\infty)$ no converge a ningún elemento de $C_b$. ($C_b = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f \text{ es acotada}\}$).

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7. (1 punto): Sean $f: X \to Y$ y sea $M$ una $\sigma$-álgebra de $Y$. Mostrar que $f^{-1}(M)$ es $\sigma$-álgebra.