Final de Análisis Avanzado — 22/07/2025

1. Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto numerable. Probar que si $B \subseteq A$ entonces $B$ es a lo sumo numerable.

2. Sea $M$ un espacio métrico con dos distancias equivalentes $d_1$ y $d_2$. Decidir si las siguientes son verdaderas o falsas, demostrando las verdaderas y mostrando un contraejemplo en las falsas: a. Existen $C_1$ y $C_2$ constantes positivas tal que

$$C_1 d_1(x, y) \le d_2(x, y) \le C_2 d_1(x, y) \quad \text{para todo } x, y \in M.$$

b. Si $K$ es compacto en $(M, d_1)$ es compacto en $(M, d_2)$. c. Si $(x_n)$ es una sucesión en $M$ tal que existe $x \in M$ con $x_n \to x$ en $(M, d_1)$ entonces $x_n \to x$ en $(M, d_2)$. d. Si $(M, d_1)$ es completo entonces $(M, d_2)$ es completo.

3. Sea $M$ un espacio métrico completo, $f : M \to M$ una función que cumple que existe una constante $0 < \alpha < 1$ tal que

$$d(f(x), f(y)) \le \alpha d(x, y) \quad \text{para todo } x, y \in M.$$

Probar que $f$ tiene un único punto fijo, es decir, que existe un único punto $x_0 \in M$ tal que $f(x_0) = x_0$.

4. Sean $E, F$ espacios normados y $T : E \to F$ una transformación lineal. Probar que son equivalentes: a. $T$ es continua en el origen. b. $T$ es continua en algún punto $x \in E$. c. $T$ es continua en $E$. d. $T$ es uniformemente continua. e. $T$ es acotado.

5. Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto medible. Probar que para todo $\varepsilon > 0$ existe un $U$ abierto tal que $A \subseteq U$ y $\mu(U \setminus A) < \varepsilon$.

6. Enunciar el teorema de la convergencia dominada y calcular

$$\int_{(0, 1]} x^p \, d\mu, \quad \int_{[1, +\infty)} x^p \, d\mu, \quad \text{para todo } p \in \mathbb{R}.$$

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Todos los ejercicios valen 2 puntos. La calificación final se calculará como el mínimo entre el puntaje obtenido y 10.